$M$，$N$ は、$10$進法では
$M=a\times 7^{2}+b\times 7+c$
$N=c\times 7^{2}+b\times 7+a$
と表せる。

なので、$X=M-N$ は

となる。

解答ク：５, ケ：２

式Ａより、$X$ を$7$進数にすると
$X=\underbrace{a-c}_{7^{2}\text{の位}} | \underbrace{0}_{7\text{の位}} | \underbrace{\textcolor{red}{c-a}}_{1\text{の位}}{}_{(7)}$式Ｂ
とかける.....と言いたいところだけど、話はそれほど簡単じゃない。

でないといけない。

ところが、
$c+1 \lt a$
より
$c-a \lt -1$
なので、式Ｂの$1$の位（赤い部分）は負になってしまう。
これを何とかしないといけない。

式Ａを
$X=(a-c)\times 7^{2}-\{\underline{-(\textcolor{red}{c-a})}\}$式Ａ'
とすると、下線部は正になって、正の数どうしの引き算になる。
これを計算して、各桁の数字を $0$ 以上 $7$ 未満にする。

ここで、小学校で習った引き算の筆算を思いだそう。
例えば $500-5$ を筆算する場合は、次のような作業をした。

$X=(a-c)\times 7^{2}-\{\underline{-(\textcolor{red}{c-a})}\}$式Ａ'
で復習と同じように考えてみよう。

筆算をする前に、$a-c$，$c-a$ がどのくらいの値かを確認しておく。

問題文より
$-4\leqq-c\leqq-1$
これに
$3\leqq a\leqq 6$
を辺々たすと
$-1\leqq a-c\leqq 5$式Ｃ

また、問題文より
$1 \lt a-c$

これと式Ｃをあわせると
$1 \lt a-c\leqq 5$式Ｄ
となるから、
$(a-c)\times 7^{2}$ は $7$進数では$3$桁の数で、
$\underbrace{a-c}_{7^{2}\text{の位}} | \underbrace{0}_{7\text{の位}} | \underbrace{0}_{1\text{の位}}{}_{(7)}$ と表せる。

式Ｄを変形すると
$1 \lt -(c-a)\leqq 5$
となるから、
$-(c-a)$は$7$進数では$1$桁 である。

よって、式Ａ'を筆算すると、次のようになる。
計算中、$7$進数なので $1$は繰り下がると$7$になっている。

以上より、答えは
$\underbrace{a-c-1}_{7^{2}\text{の位}} | \underbrace{6}_{7\text{の位}} | \underbrace{7+c-a}_{1\text{の位}}{}_{(7)}$
だ。

よって、$X$を$10$進数で表すと
$(a-c-1)\times 7^{2}+6\times 7+(7+c-a)$
となる。

解答コ：６

最後は、たし算だ。
せっかくだから さっきの別解の方法を使って、$7$進数のまま計算することにする。

$X=\underbrace{a-c-1}_{7^{2}\text{の位}} | \underbrace{6}_{7\text{の位}} | \underbrace{7+c-a}_{1\text{の位}}{}_{(7)}$
だから、
$Y=\underbrace{7+c-a}_{7^{2}\text{の位}} | \underbrace{6}_{7\text{の位}} | \underbrace{a-c-1}_{1\text{の位}}{}_{(7)}$
とかける。

この２つを筆算でたすんだけれど、気をつける点は $7$進法なので$7$で$1$繰り上がること。