大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試 数学ⅠA 第4問 [2] 解説

解説

MN は、10進法では
M=a×72+b×7+c
N=c×72+b×7+a
と表せる。

なので、X=MN

a×72 +b×7 +c
)c×72 +b×7 +a
(ac)×72 +(ca)式A

となる。

解答ク:5, ケ:2


式Aより、X7進数にすると
X=ac72の位|07の位|ca1の位(7)式B
とかける.....と言いたいところだけど、話はそれほど簡単じゃない。

復習

n 進数の各桁の数字は 0 以上 n 未満の整数

でないといけない。

ところが、
c+1<a
より
ca<1
なので、式Bの1の位(赤い部分)は負になってしまう。
これを何とかしないといけない。


式Aを
X=(ac)×72{(ca)}式A'
とすると、下線部は正になって、正の数どうしの引き算になる。
これを計算して、各桁の数字を 0 以上 7 未満にする。

ここで、小学校で習った引き算の筆算を思いだそう。
例えば 5005 を筆算する場合は、次のような作業をした。

復習

0から5は引けない。
10の位から1借りてきたいけれど、10の位は0だ。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

しかたがないから、100の位(102の位)から1借りる。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

10の位は10になる。
ここから1借りる。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

1の位は10になる。
あとは普通に引き算をする。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

以上より、答えは 495 だ。

X=(ac)×72{(ca)}式A'
で復習と同じように考えてみよう。

筆算をする前に、acca がどのくらいの値かを確認しておく。

問題文より
4c1
これに
3a6
を辺々たすと
1ac5式C

また、問題文より
1<ac

これと式Cをあわせると
1<ac5式D
となるから、
(ac)×727進数では3桁の数で、
ac72の位|07の位|01の位(7)
と表せる。

式Dを変形すると
1<(ca)5
となるから、
(ca)7進数では1 である。

よって、式A'を筆算すると、次のようになる。
計算中、7進数なので 1は繰り下がると7になっている。

筆算

0から(ca)は引けない。
7の位から1借りてきたいけれど、7の位は0だ。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

しかたがないから、72の位から1借りる。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

7の位は7になる。
ここから1借りる。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

1の位は7になる。
あとは普通に引き算をする。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

以上より、答えは
ac172の位|67の位|7+ca1の位(7)
だ。

よって、X10進数で表すと
(ac1)×72+6×7+(7+ca)
となる。

解答コ:6

別解

と、ここまで考えてくると、
「上の筆算みたいなことができるなら、わざわざ10進数になおさなくてもいいんじゃない?」
っていう疑問が出てくる。

実はその通りで、7進数のままで計算した方が早い。
問題文が10進数に変換するように誘導していたから、上ではそうやって解いたけど。

7進数のまま計算すると、次のようになる。

筆算

abc(7)cba(7) を筆算する。

1の位から計算するんだけど、ca<1 なので、cからaは引けない。
7の位から1借りてきたいけれど、そうすると今度は7の位が引けなくなる。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

しかたがないから、72の位から1借りる。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

7の位は7+bになる。
ここから1借りる。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

1の位は 7+c になる。
それぞれの位で引き算をする。

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

式Dより、引き算の答えは 72の位も 1の位も 0 以上 7 未満であることが分かる。

以上より、答えは
ac172の位|67の位|7+ca1の位(7)
だ。

よって、X10進数で表すと
(ac1)×72+6×7+(7+ca)
となる。

解答コ:6

最後は、たし算だ。
せっかくだから さっきの別解の方法を使って、7進数のまま計算することにする。

X=ac172の位|67の位|7+ca1の位(7)
だから、
Y=7+ca72の位|67の位|ac11の位(7)
とかける。

この2つを筆算でたすんだけれど、気をつける点は 7進法なので71繰り上がること。

筆算

大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠA第4問[2] 解説図

1の位から順に計算すると、

1の位は、
(7+ca)+(ac1)=6

7の位は、
6+6=12
で、1繰り上がって、5残る

72の位は、
1+(ac1)+(7+ca)=7
で、1繰り上がって、0残る

73の位は、
繰り上がってきた1

となる。

よって、X+Y7進法で表したものは
X+Y=1056(7)
である。

解答サ:1, シ:0, ス:5, セ:6