大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試 数学ⅠＡ 第３問 解説
(1)
問題文中の図１の左２列を取り出して、図Ａをつくった。
この解説に載せた図すべてについて、
タイルを貼ることができる場所を緑で示した。
名前がついていない配置には、必要に応じて Ｓ，Ｔ，$\cdots$ の名前をつけてある。
図Ａ中の２本の矢印は同じ確率で起こるので、配置Ａ，配置Ｔになる確率は ともに
$\dfrac{1}{2}$
である。
解答ア：１, イ：２
(2)
問題文中の図１の左３列に (1)で求めた確率を書き込むと、図Ｂができる。
図中の同じ色の矢印は同じ確率なので、すべての矢印は$\dfrac{1}{2}$の確率になる。
配置Ｂになるのは、
２枚目のタイルを貼った時点で配置Ａである
かつ
Ａ→Ｂ の矢印が起こる
場合だ。
このとき、
(1)より、配置Ａになる確率は$\dfrac{1}{2}$
Ａ→Ｂ の矢印が起こる確率は$\dfrac{1}{2}$
だから、配置Ｂになる確率は
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
である。
解答ウ：１, エ：２, オ：１, カ：４
配置Ｃになるのは、
２枚目のタイルを貼った時点で配置Ａである
かつ
Ａ→Ｃ の矢印が起こる
または
２枚目のタイルを貼った時点で配置Ｔである
かつ
Ｔ→Ｃ の矢印が起こる
場合だ。
よって、配置Ｃになる確率は
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
である。
解答キ：１, ク：２
また、配置Ｄになる確率は、配置Ｂのときと同様に
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
である。
(3)
問題文中の図１の右３列に (1)(2)で求めた確率と ３枚目から４枚目の間の矢印を書きたすと、図Ｃができる。
図中の同じ色の矢印は同じ確率なので、実線の矢印はすべて$\dfrac{1}{2}$，点線の矢印はすべて$\dfrac{1}{3}$ の確率になる。
(i)
図Ｃより、配置Ｅになることができるのは
配置Ｂ，配置Ｃ
である。
解答ケ：３
別解
問題文中の図のＥとＢ，Ｃ，Ｄを見比べると、ＤはＥの配置からはみ出している部分がある。
なので、Ｄは不適。
正解は Ｂ、Ｃ だ。
解答ケ：３
よって、配置Ｅになるのは、
３枚目のタイルを貼った時点で配置Ｂである
かつ
Ｂ→Ｅ の矢印が起こる
または
３枚目のタイルを貼った時点で配置Ｃである
かつ
Ｃ→Ｅ の矢印が起こる
場合だ。
したがって、配置Ｅになる確率は
$\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{24}$
である。
解答コ：７, サ：２, シ：４
また、図Ｃより、配置Ｆになることができるのは
配置Ｃ
のときだけ。
解答ス：1
別解
問題文中の図のＦとＢ，Ｃ，Ｄを見比べると、Ｂ、ＤはＦの配置からはみ出している部分がある。
なので、Ｂ、Ｄは不適。
正解は Ｃ だ。
解答ス：1
よって、配置Ｆになる確率は
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
である。
解答セ：1, ソ：６
さらに、配置Ｕになる確率は、配置Ｅと同じ
$\dfrac{7}{24}$
となる。
(ii)
ここで条件付き確率の復習をしておくと、
復習
事象$A$が起こる確率を$P(A)$、事象$A$と$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$
である。
この問題では、
配置Ｅになる場合が、復習の事象$A$
配置Ａになる場合が、復習の事象$B$
だ。
よって、
コサシより、
$P(A)=\dfrac{7}{24}$
である。
事象$A$と$B$の両方起こる場合は、
配置Ａのあと配置Ｅになる
場合だから、
配置Ｂになる前は必ず配置Ａなので、
配置Ｂ→配置Ｅ
配置Ａ→配置Ｃ→配置Ｅ
の２パターンある。
なので、その確率$P(A\cap B)$は
$$
\begin{align}
P(A\cap B)&=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}\\
&=\dfrac{5}{24}
\end{align}
$$
である。
したがって、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$$
\begin{align}
P_{A}(B)&=\dfrac{\dfrac{5}{24}}{\dfrac{7}{24}}\\
&=\dfrac{5}{7}
\end{align}
$$
となる。
解答タ：５, チ７
(4)
４枚目～６枚目のタイルの配置に これまで分かった確率を書き込んで、図Ｄをつくった。
問題文中の図２は、図Ｄの配置Ｙにあたる。
問題を解くのに必要ない配置や矢印は省略してある。
また、図Ｃと同様に、実線の矢印はすべて$\dfrac{1}{2}$，点線の矢印はすべて$\dfrac{1}{3}$ の確率である。
図Ｄより、配置Ｖになる確率と 配置Ｘになる確率は等しくて、どちらも
$$
\begin{align}
\dfrac{7}{24}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}&=\dfrac{7}{24\cdot 3}+\dfrac{6}{24\cdot 3}\\
&=\dfrac{13}{24\cdot 3}
\end{align}
$$
である。
よって、（配置Ｖまたは配置Ｘ）経由で配置Ｙになる確率は
$\dfrac{13}{24\cdot 3}\times\dfrac{1}{3}\times 2=\dfrac{13}{12\cdot 3^{2}}$式Ａ
となる。
配置Ｗになる確率は、
$\dfrac{7}{24}\times\dfrac{1}{3}\times 2=\dfrac{7}{12\cdot 3}$
なので、配置Ｗ経由で配置Ｙになる確率は
$\dfrac{7}{12\cdot 3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{12\cdot 3^{2}}$式Ｂ
である。
したがって、配置Ｙが起こる確率は、式Ａ$+$式Ｂ より、
$$
\begin{align}
\dfrac{13}{12\cdot 3^{2}}+\dfrac{7}{12\cdot 3^{2}}&=\dfrac{20}{12\cdot 3^{2}}\\
&=\dfrac{5}{3\cdot 3^{2}}\\
&=\dfrac{5}{27}
\end{align}
$$
となる。
解答ツ：５, テ：２, ト：７