大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 本試数学Ⅰ 第１問 [2] 解説

(1)

$A\cap B$ は図Ａの斜線部分

$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$ なので、図Ｂの斜線部分

だから、$\left(A\cap B\right)\cup\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)$ は図Ｃの斜線部分である。

よって、選択肢のうち正しいものは
②
だ。

解答コ：2

(2)

(i)

集合$U$，$P$，$Q$を表にまとめると、表Ｄができる。

表Ｄ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$P$			○	○		○			○	○
$Q$		○		○	○	○				○

表Ｄにおいて、

$P\cap Q$ は $P$，$Q$ 両方に○がある数なので、
$P\cap Q=\{3,5,9\}$

解答サ：３, シ：５, ス：９

$\overline{P}\cap\overline{Q}$ は $P$，$Q$ 両方に○がない数なので、
$\overline{P}\cap\overline{Q}=\{0,6,7\}$

解答セ：０, ソ：６, タ：７

である。

(ii)

図Ｃに少し描きたして、図Ｅをつくった。

図Ｅのそれぞれの部分の意味は、
(1)で求めたように、斜線部分は $\left(A\cap B\right)\cup\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)$ 青は、集合$A$には含まれるけど$B$には含まれない部分緑は、集合$B$には含まれるけど$A$には含まれない部分である。

なので、

$\left(A\cap B\right)\cup\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=U$ のとき

このとき、集合$U$の要素はすべて図Ｅの斜線部に含まれる。
言いかえると、青や緑の部分に含まれる要素はない。
つまり、
集合$A$の要素はすべて紫の部分にある集合$B$の要素もすべて紫の部分にあるから、
$B=A$
だ。

したがって、解答群のうち正しいものは
②
である

解答チ：２

$\left(A\cap B\right)\cup\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=\varnothing$ のとき

このとき、集合$U$の要素はすべて図Ｅの青または緑の部分に含まれる。
つまり、すべての要素が集合$A$，集合$B$の片方のみに含まれるから、
$B=\overline{A}$
だ。

したがって、解答群のうち正しいものは
⑥
である

解答ツ：６

ことが分かる。

別解

(i)のような表を併用して考えると、次のようになる。

集合$U$，$A$を表にまとめると、表Ｆができる。
集合$B$はまだ分からないので、表Ｆは未完成だ。

表Ｆ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$A$		○			○	○		○
$B$

$\left(A\cap B\right)\cup\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=U$ のとき

このとき、集合$U$の要素はすべて図Ｅの斜線部に含まれる。
言いかえると、青や緑の部分に含まれる要素はないから、集合$A$，集合$B$の片方のみに含まれる要素はない。

これをさらに言いかえると、集合$B$を書き込んで表Ｆを完成させたときに
$A$だけに○がついている要素はない $B$だけに○がついている要素はないということだ。

よって、表Ｆを完成させると表Ｇになる。

表Ｇ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$A$		○			○	○		○
$B$		○			○	○		○

したがって、解答群のうち正しいものは
②
である。

解答チ：２

$\left(A\cap B\right)\cup\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=\varnothing$ のとき

このとき、集合$U$の要素はすべて図Ｅの青または緑の部分に含まれる。
つまり、すべての要素が集合$A$，集合$B$の片方のみに含まれる。

これをさらに言いかえると、集合$B$を書き込んで表Ｆを完成させたときに
すべての要素には
$A$，$B$の片方にだけ○があることになる。

よって、表Ｆを完成させると表Ｈになる。

表Ｈ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$A$		○			○	○		○
$B$	○		○	○			○		○	○

したがって、解答群のうち正しいものは
⑥
である。

解答ツ：６