大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 本試 数学Ⅰ 第３問 [1] 解説
(1)
$y=3x^{2}+18x+20$
を平方完成すると、
途中式
$$
\begin{align}
y&=3(x^{2}+6x)+20\\
&=3(x^{2}+2\cdot 3x+3^{2}-3^{2})+20\\
&=3(x+3)^{2}-3\cdot 3^{2}+20
\end{align}
$$
より
となるので、頂点の座標は
$(-3,-7)$
である。
解答ア：－, イ：３, ウ：－, エ：７
$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線だけど、アイウエより、
頂点の$x$座標が負なので
放物線の軸は$y$軸よりも左にある
頂点の$y$座標が負なので
放物線は$x$軸と異なる２点で交わる
ことが分かる。
また、
$f(0)=20 \gt 0$ なので、
放物線は$y$軸と原点より上で交わる。
以上より、$y=f(x)$のグラフは図Ａのような状態だ。
![大学入学共通テスト2025年本試 数学Ⅰ 第３問 [1] 解説図Ａ](_image/1_3_1_01.svg)
図Ａより、$f(x)=0$は異なる二つの負の解をもつ。
解答オ：２
(2)
(i)
$y=f(x)$のグラフを
$x$軸方向に$s$
$y$軸方向に$-5$
平行移動したグラフの式は
$$
\begin{align}
y-(-5)&=f(x-s)\\
&=3(x-s)^{2}+18(x-s)+20
\end{align}
$$
とかける。
これを展開して整理すると
$$
\begin{align}
y&=3(x^{2}-2sx+s^{2})+18(x-s)+20-5\\
&=3x^{2}+(18-6s)x+3s^{2}-18s+20-5\\
&\hspace{220px}\class{tex_formula}{式Ａ}\\
&=3x^{2}+(18-6s)x+3(s^{2}-6s+5)\\
\end{align}
$$
となるから、
$g(x)=3x^{2}+(18-6s)x+3(s^{2}-6s+5)$
である。
解答カ：６, キ：３, ク：６, ケ：５
(ii)
ここで、放物線と$x$軸の交点の位置について復習しておこう。
復習
2次関数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ のグラフの放物線 $y=f(x)$ を考える。
$k$ を実数として、$0 \lt a$，$\alpha \lt \beta$ のとき、放物線と $x$軸との交点$(\alpha,0)$，$(\beta,0)$の位置の関係は
![大学入学共通テスト2025年本試 数学Ⅰ 第３問 [1] 復習図](_image/1_3_1_02.svg)
$\left\{\begin{array}{l}
\alpha \lt k\\
\beta \lt k
\end{array}\right.$
$\qquad \Updownarrow$
$0 \lt D$ $\left(\begin{array}{l} \text{頂点の}y\text{座標} \lt 0\\ \quad \text{でもよい} \end{array}\right)$ 頂点の$x$座標$ \lt k$ $0 \lt f(k)$
![大学入学共通テスト2025年本試 数学Ⅰ 第３問 [1] 復習図](_image/1_3_1_03.svg)
$\left\{\begin{array}{l}
\alpha \lt k\\
k \lt \beta
\end{array}\right.$
$\qquad \Updownarrow$
$f(k) \lt 0$
![大学入学共通テスト2025年本試 数学Ⅰ 第３問 [1] 復習図](_image/1_3_1_04.svg)
$\left\{\begin{array}{l}
k \lt \alpha\\
k \lt \beta
\end{array}\right.$
$\qquad \Updownarrow$
$0 \lt D$ $\left(\begin{array}{l} \text{頂点の}y\text{座標} \lt 0\\ \quad \text{でもよい} \end{array}\right)$ $k \lt $頂点の$x$座標 $0 \lt f(k)$
だった。
$a \lt 0$のときは省略。
ここで問われている
$g(x)=0$が正の解と負の解をひとつずつもつ場合
は、
$\alpha \lt \beta$として、
$\quad y=g(x)$と$x$軸との交点$(\alpha,0)$，$(\beta,0)$が
$\quad\left\{\begin{array}{l}
\alpha \lt 0\\
0 \lt \beta
\end{array}\right.$
の場合
と同じなので、復習の②にあたる。
よって、復習より、問われている場合は、
$g(0) \lt 0$
つまり
$3(s^{2}-6s+5) \lt 0$
のときである。
これを解いて、求める$s$の範囲は
$(s-1)(s-5) \lt 0$
$1 \lt s \lt 5$
となる。
解答コ：１, サ：５
(3)
次は、$y=h(x)$ だ。
問われている
$h(x)=0$ が異なる二つの正の解をもつ場合
は、
$\alpha\neq\beta$として、
$\quad y=h(x)$と$x$軸との交点$(\alpha,0)$，$(\beta,0)$が
$\quad \left\{\begin{array}{l}
0 \lt \alpha\\
0 \lt \beta
\end{array}\right.$
の場合
と同じなので、(2)の復習の③にあたる。
よって、復習より、
頂点の$y$座標$ \lt 0$式Ｂ
$0 \lt $頂点の$x$座標式Ｃ
$0 \lt h(0)$式Ｄ
となる $t$ の範囲を求めれば それが解だ。
というわけで、頂点の座標と$h(0)$を求めよう。
$y=h(x)$ は $y=f(x)$ を
$x$軸方向に$t$
$y$軸方向に$t^{2}-6t$
平行移動したものだ。
よって、$y=h(x)$の頂点の
$x$座標は
$\fbox{アイ}+t=t-3$式Ｅ
$y$座標は
$\fbox{ウエ}+t^{2}-6t=t^{2}-6t-7$式Ｆ
である。
この
式Ｆを式Ｂに代入すると、
$t^{2}-6t-7 \lt 0$
より
$(t+1)(t-7) \lt 0$
$-1 \lt t \lt 7$式Ｇ
式Ｅを式Ｃに代入すると、
$0 \lt t-3$
$3 \lt t$式Ｈ
となる。
また、
$f(x)$を
$\left\{\begin{array}{l}
x\text{軸方向に}\AKA{s}\\
y\text{軸方向に}\SORA{-5}
\end{array}\right.$
移動したグラフの式は、式Ａの
$y=3x^{2}+(18-6\AKA{s})x+3\AKA{s}^{2}-18\AKA{s}+20\SORA{-5}$
だった。
このことから、$f(x)$を
$\left\{\begin{array}{l}
x\text{軸方向に}\AKA{t}\\
y\text{軸方向に}\SORA{t^{2}-6t}
\end{array}\right.$
移動したグラフの式は、
$$ \begin{align} y&=3x^{2}+(18-6\AKA{t})x\\ &\hspace{90px}+3\AKA{t}^{2}-18\AKA{t}+20+\SORA{t^{2}-6t}\\ &=3x^{2}+(18-6t)x+4t^{2}-24t+20 \end{align} $$ になることが分かる。
なので、
$h(0)=4t^{2}-24t+20$
だ。
これを式Ｄに代入すると、
$0 \lt 4t^{2}-24t+20$
より
$0 \lt t^{2}-6t+5$
$0 \lt (t-1)(t-5)$
$t \lt 1$，$5 \lt t$式Ｉ
となる。
以上より、式Ｇ，式Ｈ，式Ｉの重なる部分が答えだ。
この３式の範囲を数直線上に表すと、図Ｂができる。
![大学入学共通テスト2025年本試 数学Ⅰ 第３問 [1] 解説図Ｂ](_image/1_3_1_05.svg)
図Ｂより、求める$t$の範囲は、赤い部分の
$5 \lt t \lt 7$
である。
解答シ：５, ス：７