大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 本試 数学ⅡＢC 第３問 解説
(1)
$F(x)=2x^{3}+3x^{2}$
を微分したものが$f(x)$なので、
$f(x)=6x^{2}+6x$
である。
解答ア：６, イ：６
これは
$f(x)=6x(x+1)$
と因数分解できるから、
$x=-1,\ 0$ のときに
$f(x)=0$ となって、$F(x)$は極値をとる
ことが分かる。
このうち、
$x=0$
で $F(x)$ は極小値をとることが分かっているので、極大値は
$x=-1$
のときだ。
解答ウ：－, エ：１
ここで、積分定数について復習しておこう。
復習
積分は微分の逆で、導関数から微分前の関数を求めることだった。
これを図にすると、図Ａのようになる。
けれど、ここで問題が出てくる。
図Ａで$F(x)$を微分して$f(x)$を計算するとき、定数項は消えてしまう。
この$f(x)$を積分して$F(x)$を求めても、定数項は戻ってこない。
仕方がないから、消えてしまった定数項の代わりに積分定数をつけるんだった。
復習より、
定数項（積分定数）の値を変えることで、ひとつの$f(x)$から原始関数は無限に作れる。
逆にいうと
ポイント
ひとつの$f(x)$からつくった原始関数は、定数項以外すべて等しい。
このことを知っていれば、すぐに
$G(x)=F(x)+$定数
であることが分かる。
これに$F(x)$の式を代入して 定数項を$C$とおくと
$G(x)=2x^{3}+3x^{2}+C$式Ａ
と表せる。
解答オ：２, カ：３
別解
おすすめじゃないけど、計算で解くと次のようになる。
復習
$\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx$
いま
$\left\{\begin{array}{l}
G'(x)=f(x)\\
\FB{ア}\FB{イ} \text{より} f(x)=6x^{2}+6x
\end{array}\right.$
なので、復習より
$$
\begin{align}
G(x)&=\int f(x)\,dx\\
&=\int (6x^{2}+6x)\,dx
\end{align}
$$
とかける。
これを計算すると、$C$を積分定数として
$G(x)=2x^{3}+3x^{2}+C$式Ａ
と表せる。
解答オ：２, カ：３
したがって、
$y=G(x)$
のグラフは
$y=F(x)$
のグラフを$y$軸方向に平行移動したものだ。
よって、
$F(x)$が$x=0$で極小値をとるなら、
$G(x)$も$x=0$で極小値をとる。
解答キ：０
また、ウエより、$F(x)$は$x=-1$で極大値をとるから、$G(x)$も$x=-1$で極大値をとる。
この極大値が$0$なので、$y=G(x)$のグラフは
$(-1,\ 0)$
を通ることが分かる。
これを式Ａに代入すると、
$2(-1)^{3}+3(-1)^{2}+C=0$
より
$-2+3+C=0$
$C=-1$
が求められる。
解答ク：－, ケ：１
(2)
(i)
$0 \lt k$ のときを考える。
$f(x)$が2次関数なので、$F(x),\ G(x)$は3次関数だ。
また、(1)で考えたように、$y=G(x)$ のグラフは $y=F(x)$ のグラフを$y$軸方向に平行移動したものだから、
$x=0$で $F(x),\ G(x)$ は 極小値をとり、
$F(x)$ の極小値は$0$
$x=k$で $F(x),\ G(x)$ は 極大値をとり、
$G(x)$ の極大値は$0$
である。
以上より、$0 \lt k$ のとき、$y=F(x)$ と$y=G(x)$ のグラフは図Ｂのようになる。
一方、$F(x),\ G(x)$ が $x=0,\ k$ で極値をとるから、$f(x)$は
$\left\{\begin{array}{l}
f(0)=0\\
f(k)=0
\end{array}\right.$
である２次関数だ。
解答コ：０, シ：０
さらに、図Ｂを見ると、$F(x),\ G(x)$ は $0 \lt x \lt k$ で増加しているので、
$0 \lt x \lt k$ で $0 \lt f(x)$
である。
よって、$y=f(x)$ のグラフは図Ｃのようになる。
図Ｃより、$f(x)$は
$x=0$の左では$-$，右では$+$
解答サ：０
$x=k$の左では$+$，右では$-$
解答ス：１
である。
また、図Ｂより、$y=F(x)$のグラフの概形は、選択肢の
③
が適当だ。
解答セ：３
別解
できるだけグラフで考えることがおすすめなんだけど、あえてグラフを使わずに解くと次のようになる。
$F(x)$が$x=0$で極値をとるので、
$f(0)=0$
である。
解答コ：０
また、$F(x)$は$x=0$で極小値をとるから
$x=0$の左では減少，右では増加
する。
よって、$f(x)$の符号は
$x=0$の左では-，右では$+$
だ。
解答サ：０
さらに、$G(x)$が$x=k$で極値をとるので、
$f(k)=0$
である。
解答シ：０
また、$G(x)$は$x=k$で極大値をとるから
$x=k$の左では増加，右では減少
する。
よって、$f(x)$の符号は
$x=k$の左では$+$，右では-
だ。
解答ス：１
以上より、$f(x)$の値は表Ｃのようになる。
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
表Ｃをもとに$F(x)$の増減表を書くと、表Ｄができる。
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $F(x)$ | $\searrow$ | 極小値$0$ | $\nearrow$ | 極大値 | $\searrow$ |
表Ｄにあてはまるのは、選択肢の
③
しかない。
解答セ：３
(ii)
$\displaystyle F(x)=\int_{\FB{タ}}^{\FB{ソ}}f(t)\,dt$
を計算すると
$$
\begin{align}
F(x)&=\Bigl[F(t)\Bigr]_{\FB{タ}}^{\FB{ソ}}\\
&=F(\FB{ソ})-F({\FB{タ}})\TF{式Ｂ}
\end{align}
$$
とかける。
一方、解答群の４つの選択肢を$F(x)$に代入すると
$F(0)=0$
$F(1)$は値が分からない
$F(k)$は極大値だけど、値が分からない
$F(x)$
だ。
なので、式Ｂが成り立つ組合せは
$\left\{\begin{array}{l}
\FB{ソ}\text{が} x\\
\FB{タ}\text{が} 0
\end{array}\right.$
しかない。
解答ソ：３, タ：０
したがって、$F(x)$は
$F(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,dt$
と表せる。
よって、$x=k$のとき$F(x)$が極大値をとることは
$F(x)$の極大値$=\displaystyle\int_{0}^{k}f(t)\,dt$
とかける。
解答チ：２, ツ：０
(i)で考えたように、$y=f(x)$のグラフは図Ｃだった。
図Ｃにすこし描きたしたものを図Ｄとして もう一度載せておく。
$\displaystyle\int_{0}^{k}f(t)\,dt$ は、図Ｄの緑の部分の面積にあたる。
つまり、$F(x)$の極大値は
$\left\{\begin{array}{l}
y=f(x)\\
x\text{軸}
\end{array}\right.$
に囲まれた部分の面積と等しい。
解答テ：０, ト：０
また、$y=F(x)$と$y=G(x)$のグラフは図Ｂだった。
これにすこし描きたしたものを図Ｅとして もう一度載せておく。
(i)で考えたように
$y=G(x)$のグラフは$y=F(x)$のグラフを$y$軸方向に平行移動したもの
なので、図Ｂの２本の緑の線分の長さは等しい。
したがって、
$F(x)$の極大値は、$G(x)$の極小値の$-1$倍
である。
解答ナ：２