複素数平面上に点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$ をとる。
このときの、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$のなす角、つまり
$\arg\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$
について考える。

ということで、$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$を求めよう。

まず
$\left\{\begin{array}{l} \alpha=3+2i\\ \beta=7\\ \gamma=7+10i \end{array}\right.$
の場合から。

よって、
$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac{4+8i}{4-2i}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}}&=\dfrac{2+4i}{2-i}\\ &=\dfrac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\ &=\dfrac{4+2i+8i-4}{4+1}\\ &=\dfrac{10i}{5} \end{align} $$

$\phantom{\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}}=2i$
である。

解答オ：３

この$2i$は正の純虚数なので、偏角 $\arg\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$は
$\dfrac{\pi}{2}$
だ。

解答カ：４

$w=\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$
とおくと、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$のなす角は
$\arg w$
と表せる。

直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$が垂直に交わるときは、
$\arg w=\dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{3}{2}\pi$
のとき。

これは、点$w$が虚軸上（原点をのぞく）にあるとき、つまり $w$が純虚数のときだ。

解答キ：２

よって、このとき、
$w+\overline{w}=0$
である。

解答ク：０

逆に
$w+\overline{w}=0\quad w\neq 0$
のとき、$w$は純虚数だから
$\arg w=\dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{3}{2}\pi$
だ。
なので、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$は垂直に交わる。

以上より、
 ※ $w=\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$式Ａ
のとき、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$が垂直に交わるための必要十分条件は
$w+\overline{w}=0\quad w\neq 0$
であることが分かる。

(3)では、$z\neq 0$，$z\neq\pm 2$のとき、$\alpha$，$\beta$，$\gamma$ を変えてみて、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$が垂直に交わる条件を考える。

(i)

$\left\{\begin{array}{l} \alpha=z\\ \beta=2\\ \gamma=\dfrac{4}{z} \end{array}\right.$
の場合から。

このとき、
$w=\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$式Ａ
とおくと、※より、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$が垂直に交わるための必要十分条件は
$\left\{\begin{array}{l} w+\overline{w}=0\quad \class{tex_formula}{式Ｂ}\\ w\neq 0 \class{tex_formula}{式Ｃ} \end{array}\right.$
だ。

ということで、$w$を求めよう。

式Ａにそれぞれの値を代入すると、
$w=\dfrac{\cfrac{4}{z}-z}{2-z}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{w}&=\dfrac{z\left(\cfrac{4}{z}-z\right)}{z(2-z)}\\ &=\dfrac{4-z^{2}}{z(2-z)}\\ &=\dfrac{(2+z)(2-z)}{z(2-z)}\\ \end{align} $$

$\phantom{w}=\dfrac{2+z}{z}$
とかけるから、$w$ は式Ｃをみたす。

これを式Ｂに代入すると、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$が垂直に交わるための必要十分条件は
$\left(\dfrac{2+z}{z}\right)+\overline{\left(\dfrac{2+z}{z}\right)}=0$
と表せる。

これを整理すると、

途中式

$\dfrac{2+z}{z}+\dfrac{\overline{2+z}}{\overline{z}}=0$
$\dfrac{2+z}{z}+\dfrac{2+\overline{z}}{\overline{z}}=0$
両辺に$z\overline{z}$をかけて分母を払って
$2\overline{z}+z\overline{z}+2z+z\overline{z}=0$
$2z\overline{z}+2\overline{z}+2z=0$
$z\overline{z}+\overline{z}+z=0$
両辺に$1$をたして 左辺を因数分解すると
$\overline{z}(z+1)+(z+1)=1$
$(z+1)(\overline{z}+1)=1$
$(z+1)\overline{(z+1)}=1$
$\left|z+1\right|^{2}=1$
$\left|z+1\right| \gt 0$なので

$\left|z+1\right|=1$
となる。

解答ケ：６

これはさらに
$\left|z-(-1)\right|=1$
と変形できるから、$z$ は点$1$を中心とした半径$1$の円上の点だ。

さらに $z\neq 0$，$z\neq\pm 2$ なので、点 $z$ の全体は図Ａの緑の図形になる。

これと同じものは、選択肢の
⓪
である。

解答コ：０

(ii)

次は
$\left\{\begin{array}{l} \alpha'=-\alpha\\ \beta'=-\beta\\ \gamma'=-\gamma \end{array}\right.$
の場合。

$\alpha'$，$\beta'$，$\gamma'$ は、$\alpha$，$\beta$、$\gamma$ にそれぞれ$-1$をかけたもの。
なので、$\mathrm{A}'(\alpha')$，$\mathrm{B}'(\beta')$，$\mathrm{C}'(\gamma')$ は、点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$、$\mathrm{C}(\gamma)$ をそれぞれ原点を中心に$\pi$回転した点である。

これを図にすると、例えば図Ｂのようになる。

△$\mathrm{ABC}$と△$\mathrm{A}'\mathrm{B}'\mathrm{C}'$は合同なので、
$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{B}'\mathrm{A}'\mathrm{C}'$
だ。

よって、
直線$\mathrm{A}'\mathrm{B}'$と直線$\mathrm{A}'\mathrm{C}'$が垂直に交わる
$\qquad \Updownarrow$
直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$が垂直に交わる
となるから、(ii)は実は(i)と同じ問題であることが分かる。

点$z$の全体を表す図形も(i)と同じなので、正しいのは選択肢の
⓪
である。

解答サ：０

(iii)

最後は、$\alpha$，$\beta$，$\gamma$ の$z$を$-z$にした場合。

(i)を振り返ると、
$\left\{\begin{array}{l} \alpha=\textcolor{red}{z}\\ \beta=2\\ \gamma=\dfrac{4}{\textcolor{red}{z}} \end{array}\right.$     のとき、$\textcolor{red}{z}$は図Ａの緑の図形
だった。

したがって、
$\left\{\begin{array}{l} \alpha''=\textcolor{red}{-z}\\ \beta''=2\\ \gamma''=\dfrac{4}{\textcolor{red}{-z}} \end{array}\right.$     とおくと、$\textcolor{red}{-z}$は図Ａの緑の図形
だといえる。

$-z$は図Ａの緑の図形なので、図Ｃの緑の図形だ。

$-z$は$z$に$-1$をかけたものだから、原点を中心に$\pi$回転移動した点。
つまり、$-z$と$z$の図形は、原点に関して対称になる。

よって、求める$z$の全体は、図Ｃの緑の図形を原点に関して対称移動した 赤い図形だ。

これと同じものは、選択肢の
①
である。

解答シ：１

アドバイス

複素数平面の問題は、このように図形で考えるのがおすすめ。
あえて計算で解くと次の別解のようになるけど、おすすめはしない。