この解説では、図形の内部にある格子点を

とかく。

問題中の図１にちょっと描きたして、図Ａをつくった。

図Ａを見ると、$S$の内部にある格子点の数は$6$個で、そのうちわけは
直線 $x=1$ 上に$3$個 直線 $x=2$ 上に$2$個 直線 $x=3$ 上に$1$個 だ。

つまり、
$x$ が$1$増えると、の数は$1$減っている。

こうなる理由は図Ａを見れば一目瞭然なんだけど、念のためにちょっと確認しておく。

図Ａのように、直線 $y=-x+5$ 上にある格子点をとする。
このとき、$y=-x+5$ の傾きは$-1$なので、$x$が$1$増えるとの$y$座標は$1$減る。
したがって、の数は$1$減る。

上のように考えると、直線の式が $y=3x$ の場合、傾きが$3$なので
$x$が$1$増えるとの数は$3$増える。

よって、

である。

また、$n$が$1$増えると$a_{n}$は$3$増えるから、$\{a_{n}\}$は公差が$3$の等差数列だ。

解答ウ：０, エ：３, オ：０

さらに、$\{a_{n}\}$の初項$a_{1}$は
$a_{1}=2$
だから、一般項$a_{n}$は
$$ \begin{align} a_{n}&=2+3(n-1)\\ &=3n-1\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ とかける。

$T$のの数は、この数列の$a_{1}$～$a_{20}$までの和にあたる。
よって、は、等差数列の和の公式より
$$ \begin{align} \dfrac{1}{2}\cdot 20(a_{1}+a_{20})&=\dfrac{1}{2}\cdot 20(2+3\cdot 20-1)\\ &=10\cdot 61\\ &=610 \end{align} $$ 個ある。

解答カ：６, キ：１, ク：０

図形$U$で、$x=3$までの格子点を図にすると、図Ｃができる。

図Ｃのように、$y=2^{x}$ 上にある格子点をとする。

$x=k$ 上にあるとについて考えると、
との数の合計 $=$ の$y$座標 なので、 との数の合計 $=2^{k}$ であることが分かる。

また、$x=k$上にあるの個数は
つねに$1$個
だ。

よって、
（直線$x=k$上にあるの数）$+1=2^{k}$
より
（直線$x=k$上にあるの数）$=2^{k}-1$ 式Ｂ
とかける。

解答ケ：７

以上より、$U$におけるの個数は、
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(2^{k}-1\right)$
と表せる。

解答コ：１

あとはこれを計算して、求めるの個数は
$$ \begin{align} \sum_{k=1}^{n}\left(2^{k}-1\right)&=\sum_{k=1}^{n}2^{k}-\sum_{k=1}^{n}1\\ &=\dfrac{2(1-2^{n})}{1-2}-n\\ &=2(2^{n}-1)-n\\ &=2^{n+1}-n-2 \end{align} $$ 個となる。

解答サ：７

アドバイス

突然 あんまり見たことがないような問題が出てきた。
びっくりするかも知れないけれど、大丈夫。
鉄則は「分からなくなったら上を見る」だ。
というわけで、(1)(2)の作業を振り返ることからはじめよう。

(1)での作業を振り返ると、
関数が$y=\textcolor{red}{3x}$のとき、
$x=n$上のの個数は、式Ａの
$\qquad\textcolor{red}{3n}-1$ だった。

(2)での作業を振り返ると、
関数が$y=\textcolor{red}{2^{x}}$のとき、
$x=k$上のの個数は、式Ｂの
$\qquad\textcolor{red}{2^{k}}-1$ だった。

つまり、(1)(2)では、
関数が$y=\textcolor{red}{f(x)}$のとき、
$x=k$上のの個数は
$\qquad\textcolor{red}{f(k)}-1$※ になった。

考えてみると、これは偶然じゃない。
(2)の解説のくり返しになるけど、この部分がこの問題のポイントだから、もう一度 言い方を変えて説明する。

(1)(2)の関数は
$\left\{\begin{array}{l}
0 \lt x\text{の範囲で}0 \lt y\\
x\text{が整数であれば}y\text{も整数}
\end{array}\right.$※※
なので、$k$が正の整数のとき、$y=f(x)$と$x=k$は$x$軸より上の格子点で交わる。
これまでと同様に、この格子点をとする。

このとき、直線$x=k$上のの座標は
$(k,f(k))$
である。

よって、直線$x=k$上にあるそれぞれの座標は
$(k,1)$，$(k,2)$，$(k,3)$，$\cdots$，$(k,f(k)-1)$
となるから、は$f(k)-1$個ある。

したがって、※※のとき、※は必ず成り立つ。

ここで、$y=\color{red}{ax^{2}+bx+c}$ は
$\left\{\begin{array}{l} a \gt 0\\ b^{2}-4ac \lt 0 \end{array}\right.$
なので、※※にあてはまる。

ということは、(3)でも※が成り立つから、図形$V$について
$x=k$上のの個数は
$\qquad\textcolor{red}{ak^{2}+bk+c}-1$ だ。

よって、図形$V$のの個数は
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(ak^{2}+bk+c-1)$
とかける。

これが$n^{3}$になればよいので、$n$についての恒等式
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(ak^{2}+bk+c-1)=n^{3}$式Ｃ
を解けば $a$，$b$，$c$ の値が求められる。

ということで、あとは計算だ。

式Ｃより

途中式

$\displaystyle a\sum_{k=1}^{n}k^{2}+b\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}(c-1)=n^{3}$
$\begin{aligned}a\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+b&\cdot\dfrac{1}{2}n(n+1)\\&+(c-1)n=n^{3}\end{aligned}$

両辺に$6$をかけて、
$\begin{aligned}an(n+1)(2n+1)+3bn(n+1)+& 6(c-1)n\\&=6n^{3}\end{aligned}$

$n\neq 0$なので、両辺を$n$で割って、
$\begin{aligned}a(n+1)(2n+1)+3b(n+1)+6&(c-1)\\&=6n^{2}\end{aligned}$

しかたがないから展開すると、
$2an^{2}+3an+a+3bn+3b+6c-6=6n^{2}$

$2an^{2}+3(a+b)n+a+3b+6c-6=6n^{2}$

これが$n$についての恒等式なので、
$2a=6$式Ｄ $3(a+b)=0$式Ｅ $a+3b+6c-6=0$式Ｆ だ。

である。