まず、レモンのサイズがＬになる確率から。

レモンの重さ（確率変数$X$）は正規分布
$N(110,20^{2})$
に従う。
なので、サイズがＬになる確率は、図Ａの赤い部分の面積にあたる。

この面積を正規分布表で求めるんだけど、
図Ａの正規分布は、$N(110,20^{2})$ 正規分布表に載っているのは、$N(0,1)$ だから、そのままでは比較できない。

そのため、図Ａを標準化して$N(0,1)$にそろえよう。

標準化の計算を思い出すと、

復習

もとの確率変数を$X$とし、$X$の
平均値が$m$ 標準偏差が$\sigma$ のとき、$X$を標準化した確率変数は
$\dfrac{X-m}{\sigma}$

だった。

図Ａの
$110$は$X$の平均値なので、
計算するまでもなく 標準化すると$0$ $140$を標準化すると、復習より
$\dfrac{140-110}{20}=1.5$ になるから、標準化したものは図Ｂだ。

正規分布表で$z_{0}=1.50$をさがすと、赤い部分の面積、つまり求める確率は、
$0.4332$
であることが分かる。

解答ア：４, イ：３, ウ：３, エ：２

なので、
$20$万個のレモンの中のＬサイズの個数$Y$ は
試行を$20$万回行ったとき、確率$0.4332$で起こる事象が起こった回数$Y$ と言いかえられる。

よって、確率変数$Y$は 二項分布
$B(200000,0.4332)$
に従う。

ここで、二項分布について復習しておくと、

復習

確率変数$Y$が二項分布$B(n,p)$に従うとき、
$Y$の
平均$E(Y)=np$ 分散$V(Y)=np(1-p)$ 標準偏差$\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{np(1-p)}$

だった。

復習より、$Y$の平均は
$200000\times 0.4332=86640$
である。

解答オ：４

次は、母平均の推定だ。

標本平均の復習から始めよう。

復習

平均$m$，分散$\sigma^{2}$の母集団から大きさ$n$の標本を取り出す。
このとき、標本平均は
母集団が正規分布に従うときには、$n$の値にかかわらず完全に 母集団がその他の確率分布に従うときには、$n$が大きければ近似的に 正規分布
$N\left(m,\dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$
に従う。

復習より、確率変数$W$の平均$\overline{W}$は、近似的に
$N\left(m,\dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$
に従う。

解答カ：６

さらに、母平均の推定についての復習だ。
これには公式があった。

公式

母標準偏差を$\sigma$，標本平均を$\overline{W}$，標本の大きさを$n$とすると、母平均$m$の信頼区間を求める式は
$\overline{W}-z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m\leqq\overline{W}+z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

図の固定

ただし、信頼区間が$c$％のとき、$z$は 図Ｃの$z_{0}$の値。
特に
信頼度$95$％のとき、$z=1.96$ 信頼度$99$％のとき、$z=2.56$ である。

公式より、母平均$m$に対する信頼度$95$％の信頼区間は
$\overline{W}-1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m\leqq\overline{W}+1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
とかける。

なので、信頼区間の幅は
$$ \begin{align} &\left(\overline{W}+1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\overline{W}-1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\\ &\qquad=1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\times 2\\ &\qquad=\dfrac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ と表せる。

解答キ：５

この信頼区間の幅が$4$ｇ以下になるのは
$\dfrac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}\leqq 4$①
のとき。

これを解く。

問題文の指示に従って ①式の両辺を２乗すると
$\dfrac{(3.92\sigma)^{2}}{n}\leqq 16$
$(3.92\sigma)^{2}\leqq 16n$
となる。

この式は、母標準偏差$\sigma$を$20$とすると

途中式

$(3.92\cdot 20)^{2}\leqq 4^{2}n$

$3.92$は式Ａで$1.96\times 2$を計算した結果なので
$(1.96\cdot 2\cdot 20)^{2}\leqq 4^{2}n$

両辺を$4^{2}$で割ると、
$(1.96\cdot 10)^{2}\leqq n$
$19.6^{2}\leqq n$
より

$384.16\leqq n$
と変形できる。

したがって、信頼区間の幅が$4$ｇ以下になる最小の$n$は
$385$
である。

解答ク：３, ケ：８, コ：５

ここから検定の話だ。

$\mathrm{Q}$地域の今年のレモンの母平均$m$ｇが、過去の平均$110$ｇより軽いといえるかを検定する。

なので、
対立仮説：$m \lt 110$ 帰無仮説：$m=110$ だ。

解答サ：０

帰無仮説が正しいと仮定して、レモン$400$個（大きさ$400$の標本）の平均が$108.2$以下になる確率を求めよう。

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カで考えたように、標本が十分に大きいとき、標本平均$\overline{W}$は、近似的に正規分布
$N\left(m,\dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$
に従う。

なので、
標本の大きさ$n=400$ 母標準偏差$\sigma=20$ 帰無仮説が正しいと仮定して、
母平均$m=110$ とすると、$400$は十分に大きいから、標本平均$\overline{W}$は、近似的に正規分布
$N\left(110,\dfrac{20^{2}}{400}\right)=N(110,1)$
に従う。

解答シ：５

よって、
$P(\overline{W}\leqq 108.2)$ つまり
標本平均が$108.2$以下になる確率 は、図Ｄの赤い部分の面積にあたる。

(1)のときと同じように、今回も標準化だ。

図Ｄの
$110$は$X$の平均値なので、
標準化すると$0$ $108.2$を標準化すると、(1)の復習より
$\dfrac{108.2-110}{1}=-1.8$ になるから、標準化したものは図Ｅだ。

図Ｅの赤い部分の面積を求めるために、正規分布表で$z_{0}=-1.8$をさがす...と言いたいところだけど、正規分布表には正の値、つまり平均値よりも右の値しか載っていない。
正規分布は左右対称だから、代わりに図Ｅのオレンジの面積を求めよう。

正規分布表で$z_{0}=1.8$をさがすと、$0.4641$とある。
これが、図Ｅの緑の部分の面積だ。

よって、オレンジの面積は
$0.5-0.4641=0.0359$
だから、赤い部分の面積も
$0.0359$
となる。

したがって、標本平均が$108.2$以下になる確率も
$P(\overline{W}\leqq 108.2)=0.0359$
である。

解答ス：０, セ：３, ソ：５, タ：９

いま行っている検定の有意水準は$5[\%]$だった。
なので、帰無仮説にもとづいて計算した$P(\overline{W}\leqq 108.2)$が $5[\%]$以上でないと、帰無仮説は棄却される。

ここで求めた
$$ \begin{align} P(\overline{W}\leqq 108.2)&=0.0359\\ &=3.59[\%] \end{align} $$ は 有意水準の$5[\%]$よりも小さい。

解答チ：１

以上より
帰無仮説は棄却され、対立仮説が支持される。 つまり、
今年のレモンの母平均は$110$ｇより軽いと判断できる。

解答ツ：０