(i)

$f(x)$を微分すると、
$f'(x)=x^{2}-4x+3$式Ａ
となる。

解答ア：２

式Ａはさらに
$f'(x)=(x-1)(x-3)$
と因数分解できるから、$f(x)$は
$x=1,\ 3$式Ｂ
で極値をもつ。

また、$f(x)$の３次の項の係数は正なので、グラフは全体として右上がりの図Ａのような形になる。

以上より、$f(x)$のグラフは図Ａの左端のような形になる。

したがって、式Ｂの$1$と$3$のうち

である。

(ii)

(i)で考えたように、$y=f(x)$のグラフは図Ａの左端のような形だった。

また、$x=0$のとき
$f(0)=k$式Ｄ
なので、グラフと$y$軸との交点は
$(0,\,k)$
である。

したがって、

(iii)

$\alpha=1$のときを考える。

$f(0) \lt 0 \lt f(1)$
に式Ｄ，式Ｃを代入すると
$k \lt 0 \lt \dfrac{4}{3}+k$
とかける。

この式の各辺から$k$を引いて、
$0 \lt -k \lt \dfrac{4}{3}$

各辺に$-1$をかけると、このときの$k$の範囲は
$0 \gt k \gt -\dfrac{4}{3}$
$-\dfrac{4}{3} \lt k \lt 0$
である。

解答ク：８, ケ：０

これを図にすると、
$f(0) \lt 0 \lt f(1)$
が成り立つとき、$y=0$の直線、つまり$x$軸は図Ｂの黄色い範囲（緑の直線を除く）にある。

図Ｂに$x$軸を書き込んで、青い範囲を拡大すると図Ｃができる。

図Ｃの赤い面積と緑の面積が等しくなるような$k$の値を問われている。

積分して面積を求めると、計算結果は
横軸より下の部分の面積は負の値
横軸より上の部分の面積は正の値

になる。

よって、図Ｃで
赤$=$緑
ならば、
$\displaystyle \int_{0}^{\alpha}f(x)\,dx=0$式Ｅ
である。

解答コ：１

これを使って、このときの$k$を求める。

式Ｅより、
$\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x+k\right)\,dx=0$

となるけど、これを計算すると、

途中式

$\left[\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x^{4}}{4}-2\cdot\dfrac{x^{3}}{3}+3\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+kx\right]_{0}^{1}=0$
$\dfrac{1}{3\cdot 4}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}+k=0$
$k=-\dfrac{1-2\cdot 4+3\cdot 6}{3\cdot 4}$
なので、

$k=-\dfrac{11}{12}$
である。

解答サ：－, シ：１, ス：１, セ：１, ソ：２

次は、いろいろな条件のもとで ３次関数がどんな形になるかの問題だ。

条件(a)

条件(a)より、
$g(0)=0$ なので、グラフは原点を通る。 $g'(0) \gt 0$ なので、$x=0$ のときのグラフの傾きは正 である。

選択肢のグラフのうち これにあてはまるのは、
①，②，④
の３つある。

解答タ：１, チ：２, ツ：４ （順不同）

条件(a) かつ 条件(b)

条件(b)は、導関数のグラフについての条件だ。
いい機会だから、３次関数とその導関数のグラフについてまとめておこう。

復習より、条件(b)の
$y=g'(x)$ の放物線の軸が $y$軸 のとき、$y=g(x)$ のグラフは
$y$軸との交点に関して対称（$y$軸との交点を中心に$180^{\circ}$回転しても同じグラフになる） でなければならない。

なので、条件(a)にあてはまる
①，②，④
のうち、②は不適。

正解は、残りの
①，④
である。

解答テ：１, ト：４ （順不同）

条件(a) かつ 条件(b) かつ 条件(c)

さらに、テトのうち、条件(c)の
$y=g'(x)$は下に凸の放物線 にあてはまるものを考える。

さっきの復習より、正解は
④
なのは明らかなんだけど、せっかくだからちょっと違った説明もしておこう。

$y=g'(x)$のグラフが下に凸の放物線なので、
$g'(x)$の２次の項の係数は正 だ。

したがって、
$g(x)$の３次の項の係数も正 だから、$y=g(x)$のグラフは、(1)の図Ａのような形になる。

テトの①，④のうち、これにあてはまるのは
④
しかない。

解答ナ：４