大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

ア~ケ

最初は普通に計算しよう。

$\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
分母を有理化して、
$\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$
$\displaystyle \frac{1}{a}$$\displaystyle =\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}$
   $=3-2\sqrt{2}$
となる。

解答ア:3, イ:2, ウ:2

$b$でも同様に、
$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$
$\displaystyle \frac{1}{b}$$\displaystyle =\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$\displaystyle \frac{1}{b}$$\displaystyle =\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}$
   $=2-\sqrt{3}$
である。

解答エ:2, オ:3

これまでの結果を使って、
$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}=a\cdot\frac{1}{b}-b\cdot\frac{1}{a}$
          $=(3+2\sqrt{2})(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})(3-2\sqrt{2})$
          $=(6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6})$
                 $-$$(6-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-2\sqrt{6})$式A
          $=6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6}$
                 $-6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}+2\sqrt{6}$
          $=8\sqrt{2}-6\sqrt{3}$
となる。

解答カ:8, キ:2, ク:6, ケ:3

コ~タ

$|2abx-a^{2}| \lt b^{2}$
より、
$-b^{2} \lt 2abx-a^{2} \lt b^{2}$
各辺に$a^{2}$をたして、
$a^{2}-b^{2} \lt 2abx \lt a^{2}+b^{2}$
$0 \lt a$,$0 \lt b$なので、各辺を$2ab$で割っても不等号の向きは変わらないので、
$\displaystyle \frac{a^{2}-b^{2}}{2ab} \lt x \lt \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{a^{2}}{ab}-\frac{b^{2}}{ab}\right) \lt x \lt \frac{1}{2}\left(\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab}\right)$
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right) \lt x \lt \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)$式B

式Bの左辺の$()$内は、カキクケより
$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}=8\sqrt{2}-6\sqrt{3}$

式Bの右辺の$()$内は、式Aの赤い-が$+$になったものなので、
$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=(6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6})$
                 $+(6-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-2\sqrt{6})$
          $=6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6}$
                 $+6-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-2\sqrt{6}$
          $=12-4\sqrt{6}$

よって、式Bは、
$\displaystyle \frac{1}{2}(8\sqrt{2}-6\sqrt{3}) \lt x \lt \frac{1}{2}(12-4\sqrt{6})$
$4\sqrt{2}-3\sqrt{3} \lt x \lt 6-2\sqrt{6}$
となる。

解答コ:4, サ:2, シ:3, ス:3, セ:6, ソ:2, タ:6