大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

ア~ケ

最初は普通に計算しよう。

$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}$
の分母を有理化して、
$$ \begin{align} \frac{1}{a}&=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}\\ &=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}\\ &=3-2\sqrt{2} \end{align} $$ となる。

解答ア:3, イ:2, ウ:2

$b$でも同様に、
$$ \begin{align} \frac{1}{b}&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\ &=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\ &=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\ &=2-\sqrt{3} \end{align} $$ である。

解答エ:2, オ:3

より、
$$ \begin{align} \frac{a}{b}-\frac{b}{a}&=a\cdot\frac{1}{b}-b\cdot\frac{1}{a}\\ &=(3+2\sqrt{2})(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})(3-2\sqrt{2})\\ &=(6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\ &\hspace{40px}\textcolor{red}{-}(6-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-2\sqrt{6}) \class{tex_formula}{式A}\\ &=8\sqrt{2}-6\sqrt{3}\\ \end{align} $$ となる。

解答カ:8, キ:2, ク:6, ケ:3

コ~タ

$|2abx-a^{2}| \lt b^{2}$
より、
$-b^{2} \lt 2abx-a^{2} \lt b^{2}$
各辺に$a^{2}$をたして、
$a^{2}-b^{2} \lt 2abx \lt a^{2}+b^{2}$

$0 \lt a$,$0 \lt b$なので、各辺を$2ab$で割っても不等号の向きは変わらないので、
$$ \begin{align} \frac{a^{2}-b^{2}}{2ab} &\lt x \lt \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}\\ \frac{1}{2}\left(\frac{a^{2}}{ab}-\frac{b^{2}}{ab}\right) &\lt x \lt \frac{1}{2}\left(\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right) &\lt x \lt \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\class{tex_formula}{式B} \end{align} $$

式Bの左辺の()内は、より
$\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=8\sqrt{2}-6\sqrt{3}$

式Bの右辺の()内は、式Aの赤い$-$が$+$になったものなので、
$$ \begin{align} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}&=(6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\ &\hspace{40px}\textcolor{red}{+}(6-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\ &=12-4\sqrt{6} \end{align} $$

よって、式Bは、
$$ \begin{align} \frac{1}{2}(8\sqrt{2}-6\sqrt{3}) &\lt x \lt \frac{1}{2}(12-4\sqrt{6})\\ 4\sqrt{2}-3\sqrt{3} &\lt x \lt 6-2\sqrt{6} \end{align} $$ となる。

解答コ:4, サ:2, シ:3, ス:3, セ:6, ソ:2, タ:6