大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅠA 第2問 解説

ア~オ

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの軸(頂点の$x$座標)は
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$
だった。

2次関数の式に文字が多いので、平方完成するのは面倒。復習の方法を使おう。
$a\neq 0$なので、$G$の軸は、
$x=\displaystyle \frac{-b}{2a}$
$y=-3x^{2}+12bx$の軸は、
$x=\displaystyle \frac{-12b}{2\cdot(-3)}$

このふたつが等しいので、
$\displaystyle \frac{-b}{2a}=\frac{-12b}{2\cdot(-3)}$
$b\neq 0$なので、
$\displaystyle \frac{-1}{2a}=\frac{-12}{2\cdot(-3)}$
$\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{12}{-3}$
$a=\displaystyle \frac{-3}{12}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{4}$
である。

解答ア:-, イ:1, ウ:4

また、$G$が$(1,2b-1)$を通るので、この座標を①式に代入して、
$2b-1=a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c$
これに②式を代入して、
$2b-1=-\displaystyle \frac{1}{4}+b+c$
$c=b-\displaystyle \frac{3}{4}$
である。

解答エ:3, オ:4

続きの問題を解く前に、②式,③式を①式に代入して、文字数を減らしておこう。
$y=-\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+bx+b-\frac{3}{4}$①'

(1)

$G$と$x$軸が異なる2点で交わるので、判別式が正になればよい。
①'式より、
$D=b^{2}-4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\left(b-\frac{3}{4}\right) \gt 0$
      $b^{2}+b-\displaystyle \frac{3}{4} \gt 0$
      $4b^{2}+4b-3 \gt 0$
      $(2b+3)(2b-1) \gt 0$
      $b \lt -\displaystyle \frac{3}{2}$,$\displaystyle \frac{1}{2} \lt b$式A
である。

解答カ:-, キ:3, ク:2, ケ:1, コ:2

次は、放物線と$x$軸の共有点の位置の問題。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。

復習

ポイントは、条件に合うグラフを描いて、
$x$軸との共有点の個数を考える条件A
境目(この問題では$x=0$)の$y$座標の正負に注目する。条件B
グラフの軸が境目よりも右にあるか左にあるかを考える。条件C
だった。

条件に合うグラフは、図Aのような形。

図A
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅠA第2問 解説図A

復習の条件Aはカキクケコで解決済み。

次は条件B。
図Aより、$x=0$のとき$y \lt 0$になればいいので、①'式に$x=0$を代入して、
$b-\displaystyle \frac{3}{4} \lt 0$
$b \lt \displaystyle \frac{3}{4}$式B

最後に、条件C。
図Aより、$G$の軸は$y$軸より右。
$G$の軸は
$x=\displaystyle \frac{-b}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{b}{\frac{1}{2}}$
$x$$=2b$式C
なので、
$0 \lt 2b$
$0 \lt b$式D

以上の式A,式B,式Dの重なった範囲が答。
数直線を描くと、

図B
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅠA第2問 解説図B

となるので、求める範囲は
$\displaystyle \frac{1}{2} \lt b \lt \frac{3}{4}$
である。

解答サ:1, シ:2, ス:3, セ:4

(2)

式Cより$G$の軸は
$x=2b$
なので、$0 \lt b$のとき、グラフは図Cのようになる。

図C
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅠA第2問 解説図C

図Cより、$0\leqq x\leqq b$(緑の範囲)で最小となるのは、$x=0$のとき。
最小値は、①'式に$x=0$を代入して、
$b-\displaystyle \frac{3}{4}$
これが$-\displaystyle \frac{1}{4}$になればいいので、
$b-\displaystyle \frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$
$b=\displaystyle \frac{2}{4}$
$b\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。

解答ソ:1, タ:2

また、図Cより、$b\leqq x$(青い範囲)で最大となるのは頂点で、$x=2b$のとき。
最大値は、①'式に$x=2b$を代入して、
$-\displaystyle \frac{1}{4}(2b)^{2}+b(2b)+b-\frac{3}{4}$
$=-b^{2}+2b^{2}+b-\displaystyle \frac{3}{4}$
$=b^{2}+b-\displaystyle \frac{3}{4}$
これが$3$になればいいので、
$b^{2}+b-\displaystyle \frac{3}{4}=3$
$4b^{2}+4b-3=12$
$4b^{2}+4b-15=0$
$(2b+5)(2b-3)=0$
$b=-\displaystyle \frac{5}{2}$,$\displaystyle \frac{3}{2}$
$0 \lt b$なので、
$b=\displaystyle \frac{3}{2}$
となる。

解答チ:3, ツ:2


式Cより、$G$の軸は
$x=2b$
なので、$b=\displaystyle \frac{1}{2}$のとき、軸は$x=1$

頂点の$y$座標は、①'式に$x=1$,$b=\displaystyle \frac{1}{2}$を代入して、
$-\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=0$

よって、$G_{1}$の頂点は
$(1,0)$式E

同様に、$b=\displaystyle \frac{3}{2}$のとき、軸は$x=3$

頂点の$y$座標は、①'式に$x=3$,$b=\displaystyle \frac{3}{2}$を代入して、
$-\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 3^{2}+\frac{3}{2}\cdot 3+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}$
途中式 $=-\displaystyle \frac{9}{4}+\frac{9}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}$
$=\displaystyle \frac{12}{2}-\frac{12}{4}$
$=\displaystyle \frac{12}{4}$
$=3$

よって、$G_{2}$の頂点は
$(3,3)$式F

式Eを式Fに平行移動するので、
$(1,0)\rightarrow(3,3)$より、
$x$軸方向に$2$ $y$軸方向に$3$ 平行移動すればよい。

解答テ:2, ト:3