まず 放物線の軸の軸の復習をすると

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの軸（頂点の$x$座標）は
$\dfrac{-b}{2a}$

だった。

問題の2次関数の式には文字が多いので、平方完成するのは面倒だ。
復習の方法を使おう。

$a\neq 0$なので、$G$の軸は
$x=\dfrac{-b}{2a}$ $y=-3x^{2}+12bx$の軸は
$x=\dfrac{-12b}{2\cdot(-3)}$

このふたつが等しいので、
$\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-12b}{2\cdot(-3)}$

途中式

$b\neq 0$なので、両辺を$b$で割って
$\dfrac{-1}{2a}=\dfrac{-12}{2\cdot(-3)}$
より
$\dfrac{1}{a}=\dfrac{12}{-3}$
$a=\dfrac{-3}{12}$
なので

$a=-\dfrac{1}{4}$②
である。

解答ア：－, イ：１, ウ：４

また、$G$が$(1,2b-1)$を通るので、この座標を①式に代入すると
$2b-1=a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c$
とかける。

これに②式を代入して、$c$は
$2b-1=-\dfrac{1}{4}+b+c$
$c=b-\dfrac{3}{4}$③
と表せる。

解答エ：３, オ：４

続きの問題を解く前に、②式，③式を①式に代入して、文字数を減らしておこう。
$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+bx+b-\dfrac{3}{4}$①'

$G$、と$x$軸が異なる２点で交わる場合は、①'式の判別式が正の場合なので、
$D=b^{2}-4\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\left(b-\dfrac{3}{4}\right) \gt 0$
とかける。

これを計算すると、求める$b$の範囲は

途中式

$b^{2}+b-\dfrac{3}{4} \gt 0$
$4b^{2}+4b-3 \gt 0$
$(2b+3)(2b-1) \gt 0$

$b \lt -\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{1}{2} \lt b$式Ａ
である。

解答カ：－, キ：３, ク：２, ケ：１, コ：２

次は、放物線と$x$軸の共有点の位置の問題。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。

復習

ポイントは、条件に合うグラフを描いて、
$x$軸との共有点の個数を考える条件Ａ 境目（この問題では$x=0$）の$y$座標の正負に注目する。条件Ｂ グラフの軸が境目よりも右にあるか左にあるかを考える。条件Ｃ だった。

条件に合うグラフは、図Ａのような形だ。

以上の式Ａ，式Ｂ，式Ｄの重なった範囲が答えだ。

式Ａ，式Ｂ，式Ｄの数直線を描くと、図Ｂができる。

図Ｂより、求める範囲は 赤い部分の
$\dfrac{1}{2} \lt b \lt \dfrac{3}{4}$
である。

解答サ：１, シ：２, ス：３, セ：４

式Ｃより、$G$の軸は
$x=2b$
なので、$0 \lt b$のときのグラフは図Ｃのようになる。

式Ｃより、$G$の軸は
$x=2b$
なので、$b=\dfrac{1}{2}$のとき、軸は$x=1$

頂点の$y$座標は、①'式に$x=1$，$b=\dfrac{1}{2}$を代入して、
$-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}=0$

よって、$G_{1}$の頂点は
$(1,0)$式Ｅ

同様に、$b=\dfrac{3}{2}$のとき、軸は$x=3$

頂点の$y$座標は、①'式に$x=3$，$b=\dfrac{3}{2}$を代入して、
$-\dfrac{1}{4}\cdot 3^{2}+\dfrac{3}{2}\cdot 3+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}$

途中式

$\hspace{100px}=-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}$
$\hspace{100px}=\dfrac{12}{2}-\dfrac{12}{4}$
$\hspace{100px}=\dfrac{12}{4}$

$\hspace{100px}=3$

よって、$G_{2}$の頂点は
$(3,3)$式Ｆ

式Ｅを式Ｆに平行移動するので、
$(1,0)\rightarrow(3,3)$より、
$x$軸方向に$2$ $y$軸方向に$3$ 平行移動すればよいことになる。

解答テ：２, ト：３