$x_{1}=1$，$x_{2}=2$，$x_{3}$は$x_{1}x_{2}$を$3:1$に内分する点の座標なので、
$$ \begin{align} x_{3}&=\dfrac{x_{1}+3x_{2}}{3+1}\\ &=\dfrac{1+3\cdot 2}{3+1}\\ &=\dfrac{7}{4} \end{align} $$ である。

解答ア：７, イ：４

$\{y_{n}\}$は$\{x_{n}\}$の階差数列なので、
$$ \begin{align} y_{1}&=x_{2}-x_{1}\\ &=2-1\\ &=1 \end{align} $$ である。

解答ウ：１

ここで、漸化式の基本の復習をしておこう。

復習

漸化式の基本の形は４つあって、
$p_{n+1}=p_{n}+d$
公差$d$の等差数列 $p_{n+1}=rp_{n}$
公比$r$の等比数列 $p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$ $p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
$p_{n+1}-\gamma=\alpha(p_{n}-\gamma)$の形にして解く だった。

問題文のエオカの式を見ると、$\{y_{n}\}$の漸化式は
$y_{n+1}=ry_{n}$
の形。
これは等比数列の漸化式なので、$\{y_{n}\}$は等比数列であることが分かる。

なので、$y_{2}$が分かれば、
$y_{2}=ry_{1}$
なので、
$r=\dfrac{y_{2}}{y_{1}}$
から公比$r$が求められる。
なので、$y_{2}$だけ求めよう。

$$ \begin{align} y_{2}&=x_{3}-x_{2}\\ &=\dfrac{7}{4}-2\\ &=-\dfrac{1}{4} \end{align} $$

$$ \begin{align} r&=\dfrac{y_{2}}{y_{1}}\\ &=\dfrac{-\cfrac{1}{4}}{1}\\ &=-\dfrac{1}{4} \end{align} $$ である。

解答エ：－, オ：１, カ：４

以上より、$\{y_{n}\}$は初項が$1$，公比$r$が$-\dfrac{1}{4}$の等比数列なので、
$$ \begin{align} y_{n}&=y_{1}\cdot r^{n-1}\\ &=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} \end{align} $$ である。

解答キ：０

復習

階差数列$\{b_{n}\}$の一般項が分かっているとき、もとの数列$\{a_{n}\}$の一般項は、
$\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \qquad (2\leqq n)$
だった。

復習より、$2\leqq n$のとき、
$$ \begin{align} x_{n}&=x_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}y_{k}\\ &=1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{k-1}\\ &=1+\dfrac{1-\left(-\cfrac{1}{4}\right)^{n-1}}{1-\left(-\cfrac{1}{4}\right)} \end{align} $$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{x_{n}}&=1+\dfrac{1-\left(-\cfrac{1}{4}\right)^{n-1}}{\cfrac{5}{4}}\\ &=1+\dfrac{4}{5}\cdot\left\{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}\\ &=1+\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{5}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\\ \end{align} $$

$\phantom{x_{n}}=\dfrac{9}{5}-\dfrac{4}{5}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
である。
これは$n=1$のときも成り立つ。

解答ク：９, ケ：５, コ：４, サ：０

$r=\left|-\dfrac{1}{4}\right|$
とすると、
$$ \begin{align} |y_{n}|&=y_{1}\cdot r^{n-1}\\ &=1\cdot r^{n-1}\\ &=r^{n-1} \end{align} $$ と書ける。

アドバイス

ここからは（等差数列$\times$等比数列）の形の数列の和を求める、お決まりのパターンだ。
お約束の解き方なので、確実に憶えておこう。

$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}k|y_{k}|$
を分解して書くと、
$$ \begin{align} S_{n}&=1\cdot|y_{1}|+2\cdot|y_{2}|+\cdots\\ &\hspace{80px}+(n-1)\cdot|y_{n-1}|+n\cdot|y_{n}|\\ &=1\cdot r^{0}+2\cdot r^{1}+\cdots\\ &\hspace{24px}+(n-1)\cdot r^{n-2}+n\cdot r^{n-1} \class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ この両辺に$r$をかけると、
$\begin{aligned}rS_{n}=1&\cdot r^{1}+2\cdot r^{2}+\cdots\\&+(n-1)\cdot r^{n-1}+n\cdot r^{n} \class{tex_formula}{式Ｂ}\end{aligned}$
である。

式Ａから式Ｂを引くと、

	$S_{n}$	$=$	$1\cdot r^{0}$	$+$	$2\cdot r^{1}$	$+$	$\cdots$	$+$	$n\cdot r^{n-1}$
$-)$	$rS_{n}$	$=$			$1\cdot r^{1}$	$+$	$\cdots$	$+$	$(n-1)\cdot r^{n-1}$	$+$	$n\cdot r^{n}$
$S_{n}-rS_{n}$		$=$	$1\cdot r^{0}$	$+$	$1\cdot r^{1}$	$+$	$\cdots$	$+$	$1\cdot r^{n-1}$	$-$	$n\cdot r^{n}$

となる。

$\begin{aligned}S_{n}-rS_{n}=&\textcolor{red}{1\cdot r^{0}+1\cdot r^{1}+\cdots+1\cdot r^{n-1}}\\&\hspace{100px}-n\cdot r^{n} \class{tex_formula}{式Ｃ}\end{aligned}$
の赤い部分は、初項$1$，公比$r$，項数$n$の等比数列の和だから、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{k-1}$
と表せる。
よって、式Ｃは
$\displaystyle S_{n}-rS_{n}=\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}-n\cdot r^{n}$式Ｃ'
となる。

解答シ：１, ス：１

式Ｃ'を計算して、
$(1-r)S_{n}=\dfrac{1-r^{n}}{1-r}-n\cdot r^{n}$
ここで、
$$ \begin{align} r&= \left|-\dfrac{1}{4}\right|\\ &=\dfrac{1}{4} \end{align} $$ なので、
$\left(1-\dfrac{1}{4}\right)S_{n}=\dfrac{1-\left(\cfrac{1}{4}\right)^{n}}{1-\cfrac{1}{4}}-n\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}$

途中式

$$ \begin{align} \dfrac{3}{4}S_{n}&=\dfrac{1-\left(\cfrac{1}{4}\right)^{n}}{\cfrac{3}{4}}-n\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\\ &=\dfrac{4}{3}\left\{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\right\}-n\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n} \end{align} $$ $$ \begin{align} S_{n}&=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}\left\{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\dfrac{4}{3}n\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\\ &=\dfrac{16}{9}\left\{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\dfrac{n}{3}\cdot 4\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\\ &=\dfrac{16}{9}\left\{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\right\}\\ &\hspace{100px}-\dfrac{n}{3}\cdot 4\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} \end{align} $$ より

$S_{n}=\dfrac{16}{9}\left\{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\dfrac{n}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
である。

解答セ：１, ソ：６, タ：９, チ：４, ツ：１, テ：３, ト：４, ナ：０