ここで、反復試行の確立の復習をしておこう。

復習

確率$p$で起こる事象が、$n$回の試行で$m$回起こる確率は、
$p^{m}(1-p)^{n-m}\cdot {}_{n}C_{m}$
だった。

復習より、４以下の目が８回中３回出る確率は
$p^{3}(1-p)^{8-3}\cdot {}_{8}C_{3}$
である。
ここで、$1-p=q$なので、
${}_{8}C_{3}p^{3}q^{5}=\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}p^{3}q^{5}$式Ａ
            $=8\cdot 7p^{3}q^{5}$
            $=56p^{3}q^{5}$
となる。

解答オ：５, カ：６

１回目に４以下の目が出る確率は
$p$式Ｂ

次の７回で４以下の目が２回出る確率は、復習より
$p^{2}q^{7-2}\displaystyle \cdot {}_{7}C_{2}=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}p^{2}q^{5}$
                 $=7\cdot 3p^{2}q^{5}$
                 $=21p^{2}q^{5}$式Ｃ

なので、１回目に４以下の目が出、続く７回で４以下の目が２回出る確率は、式Ｂ$\times$式Ｃより、
$p\times 21p^{2}q^{5}=21p^{3}q^{5}$
である。

解答キ：２, ク：１

オカより、４以下の目が８回中３回出る確率は
$56p^{3}q^{5}$
キクより、４以下の目が８回中３回出、１回目は４以下の確率は
$21p^{3}q^{5}$
よって、４以下の目が８回中３回出、１回目は５以上の確率は
$56p^{3}q^{5}-21p^{3}q^{5}=35p^{3}q^{5}$
である。

解答ケ：３, コ：５

別解

余事象を使わずに、確率を直接求めると次のようになる。

１回目に５以上の目が出る確率は
$q$式Ｄ

次の７回で４以下の目が３回出る確率は、復習より
$p^{3}q^{7-3}\displaystyle \cdot {}_{7}C_{3}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}p^{3}q^{4}$
                 $=7\cdot 5p^{3}q^{4}$
                 $=35p^{3}q^{4}$式Ｅ

なので、１回目に４以下の目が出、続く７回で４以下の目が２回出る確率は、式Ｄ$\times$式Ｅより、
$q\times 35p^{3}q^{4}=35p^{3}q^{5}$
である。

解答ケ：３, コ：５

式Ａより、オカは
${}_{8}C_{3}=\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=8\cdot 7$
これと同じものを探す。
${}_{n}C_{m}={}_{n}C_{n-m}$なので、
⓪$=$④，①$=$⑤，②$=$⑥，③$=$⑦
となるから、⓪～③だけ考えよう。

⓪は、
$\displaystyle \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}\cdot\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 3\cdot 7\cdot 5$
なので、×。

①は、
$\displaystyle \frac{8}{1}\cdot\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=8\cdot 4\cdot 7$
なので、×。

②は、
$\displaystyle \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}+\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 3+7\cdot 5$
                      $=7(3+5)$
                      $=7\cdot 8$
なので、これが答だ。

すでの答は見つかっているけど、念のために③も計算しておく。
③は、
$\displaystyle \frac{8}{1}+\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=8+4\cdot 7$
               $=4(2+7)$
               $=4\cdot 9$
なので、×。

解答サ：２, シ：６（順不同）

得点が６点になるのは、６回目に初めて４以下の目が出て、４以下の目は３回出るとき。
さいころは８回投げるので、このとき、目の出方は
５以上，５以上，５以上，５以上，５以上，４以下，この後４以下が２回
の順。
よって、確率は
$q^{5}p\times p^{2}\cdot {}_{2}C_{2}=p^{3}q^{5}$
である。

解答ス：３, セ：５

得点が３点になるのは、３回目に初めて４以下の目が出て、４以下の目は３回出るとき。
このとき、目の出方は
５以上，５以上，４以下，この後４以下が２回・５以上が３回
の順。
よって、確率は
$q^{2}\displaystyle \times p\times p^{2}q^{3}\cdot {}_{5}C_{2}=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}p^{3}q^{5}$
                         $=5\cdot 2p^{3}q^{5}$
                         $=10p^{3}q^{5}$
である。

解答ソ：１, タ：０

得点が１点となる確率は、キクより
${}_{7}C_{2}p^{2}q^{5}=21p^{3}q^{5}$ 得点が３点となる確率は、ソタより
${}_{5}C_{2}p^{2}q^{5}=10p^{3}q^{5}$ 得点が６点となる確率は、スセより
${}_{2}C_{2}p^{2}q^{5}=p^{3}q^{5}$ なので、
得点が２点となる確率は、
${}_{6}C_{2}p^{2}q^{5}=15p^{3}q^{5}$ 得点が４点となる確率は、
${}_{4}C_{2}p^{2}q^{5}=6p^{3}q^{5}$ 得点が５点となる確率は、
${}_{3}C_{2}p^{2}q^{5}=3p^{3}q^{5}$ であると考えられる。

また、オカより、得点が０点でない確率は、
$56p^{3}q^{5}$
である。

以上から確率分布表を書くと、

表Ａ

得点	1	2	3	4	5	6	計
確率	$21p^{3}q^{5}$	$15p^{3}q^{5}$	$10p^{3}q^{5}$	$6p^{3}q^{5}$	$3p^{3}q^{5}$	$p^{3}q^{5}$	$56p^{3}q^{5}$

確率分布表より、得点の期待値は
$1\times 21p^{3}q^{5}+2\times 15p^{3}q^{5}+3\times 10p^{3}q^{5}$
               $+4\times 6p^{3}q^{5}+5\times 3p^{3}q^{5}+6\times p^{3}q^{5}$
$=(1\times 21+2\times 15+3\times 10$
               $+4\times 6+5\times 3+6\times 1)p^{3}q^{5}$
$=3(7+2\times 5+10+4\times 2+5+2)p^{3}q^{5}$
$=3\cdot 42p^{3}q^{5}$式Ｆ

ここで、アイウエより
$p=\displaystyle \frac{2}{3}$ $q=\displaystyle \frac{1}{3}$ なので、式Ｆは
$3\displaystyle \cdot 42\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{5}=\frac{3\cdot 42\cdot 2^{3}}{3^{8}}$
$3\displaystyle \cdot 42\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{5}$$\displaystyle =\frac{3\cdot 3\cdot 14\cdot 2^{3}}{3^{8}}$
$3\displaystyle \cdot 42\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{5}$$\displaystyle =\frac{14\cdot 2^{3}}{3^{6}}$
$3\displaystyle \cdot 42\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{5}$$\displaystyle =\frac{112}{729}$
となる。

解答チ：１, ツ：１, テ：２, ト：７, ナ：２, ニ：９