ここで、反復試行の確立の復習をしておこう。

復習

確率$p$で起こる事象が、$n$回の試行で$m$回起こる確率は、
$p^{m}(1-p)^{n-m}\cdot {}_{n}\mathrm{C}_{m}$
だった。

復習より、４以下の目が８回中３回出る確率は
$p^{3}(1-p)^{8-3}\cdot {}_{8}\mathrm{C}_{3}$
である。
ここで、$1-p=q$なので、
$$ \begin{align} {}_{8}\mathrm{C}_{3}\,p^{3}q^{5}&=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}p^{3}q^{5} \class{tex_formula}{式Ａ}\\ &=8\cdot 7p^{3}q^{5}\\ &=56p^{3}q^{5} \end{align} $$ となる。

解答オ：５, カ：６

１回目に４以下の目が出る確率は
$p$式Ｂ

次の７回で４以下の目が２回出る確率は、復習より
$$ \begin{align} p^{2}q^{7-2}\cdot {}_{7}\mathrm{C}_{2}&=\dfrac{7\cdot 6}{2\cdot 1}p^{2}q^{5}\\ &=7\cdot 3p^{2}q^{5}\\ &=21p^{2}q^{5} \class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$

なので、１回目に４以下の目が出、続く７回で４以下の目が２回出る確率は、式Ｂ$\times$式Ｃより、
$p\times 21p^{2}q^{5}=21p^{3}q^{5}$
である。

解答キ：２, ク：１

オカより、４以下の目が８回中３回出る確率は
$56p^{3}q^{5}$
キクより、４以下の目が８回中３回出、１回目は４以下の確率は
$21p^{3}q^{5}$
よって、４以下の目が８回中３回出、１回目は５以上の確率は
$56p^{3}q^{5}-21p^{3}q^{5}=35p^{3}q^{5}$
である。

解答ケ：３, コ：５

別解

余事象を使わずに、確率を直接求めると次のようになる。

１回目に５以上の目が出る確率は
$q$式Ｄ

次の７回で４以下の目が３回出る確率は、復習より
$$ \begin{align} p^{3}q^{7-3}\cdot {}_{7}\mathrm{C}_{3}&=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}p^{3}q^{4}\\ &=7\cdot 5p^{3}q^{4}\\ &=35p^{3}q^{4} \class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$

なので、１回目に４以下の目が出、続く７回で４以下の目が２回出る確率は、式Ｄ$\times$式Ｅより、
$q\times 35p^{3}q^{4}=35p^{3}q^{5}$
である。

解答ケ：３, コ：５

式Ａより、オカは
${}_{8}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=8\cdot 7$
これと同じものを探す。
${}_{n}\mathrm{C}_{m}={}_{n}\mathrm{C}_{n-m}$なので、
⓪$=$④，①$=$⑤，②$=$⑥，③$=$⑦
となるから、⓪～③だけ考えよう。

⓪は、
$\dfrac{7\cdot 6}{2\cdot 1}\cdot\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 3\cdot 7\cdot 5$
なので、不適。

①は、
$\dfrac{8}{1}\cdot\dfrac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=8\cdot 4\cdot 7$
なので、不適。

②は、
$$ \begin{align} \dfrac{7\cdot 6}{2\cdot 1}+\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}&=7\cdot 3+7\cdot 5\\ &=7(3+5)\\ &=7\cdot 8 \end{align} $$ なので、これが答だ。

すでに答は見つかっているけど、念のために③も計算しておく。
③は、
$$ \begin{align} \dfrac{8}{1}+\dfrac{8\cdot 7}{2\cdot 1}&=8+4\cdot 7\\ &=4(2+7)\\ &=4\cdot 9 \end{align} $$ なので、不適。

解答サ：２, シ：６（順不同）

得点が６点になるのは、６回目に初めて４以下の目が出て、４以下の目は３回出るとき。
さいころは８回投げるので、このとき、目の出方は
５以上，５以上，５以上，５以上，５以上，４以下，この後４以下が２回
の順。
よって、確率は
$q^{5}p\times p^{2}\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{2}=p^{3}q^{5}$
である。

解答ス：３, セ：５

得点が３点になるのは、３回目に初めて４以下の目が出て、４以下の目は３回出るとき。
このとき、目の出方は
５以上，５以上，４以下，この後４以下が２回・５以上が３回
の順。
よって、確率は
$$ \begin{align} q^{2}\times p\times p^{2}q^{3}\cdot {}_{5}\mathrm{C}_{2}&=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}p^{3}q^{5}\\ &=10p^{3}q^{5} \end{align} $$ である。

解答ソ：１, タ：０

得点が１点となる確率は、キクより
${}_{7}\mathrm{C}_{2}\,p^{2}q^{5}=21p^{3}q^{5}$ 得点が３点となる確率は、ソタより
${}_{5}\mathrm{C}_{2}\,p^{2}q^{5}=10p^{3}q^{5}$ 得点が６点となる確率は、スセより
${}_{2}\mathrm{C}_{2}\,p^{2}q^{5}=p^{3}q^{5}$ なので、
得点が２点となる確率は、
${}_{6}\mathrm{C}_{2}\,p^{2}q^{5}=15p^{3}q^{5}$ 得点が４点となる確率は、
${}_{4}\mathrm{C}_{2}\,p^{2}q^{5}=6p^{3}q^{5}$ 得点が５点となる確率は、
${}_{3}\mathrm{C}_{2}\,p^{2}q^{5}=3p^{3}q^{5}$ であると考えられる。

また、オカより、得点が０点でない確率は、
$56p^{3}q^{5}$
である。

以上から確率分布表を書くと、表Ａができる。

表Ａ

得点	1	2	3	4	5	6	計
確率	$21p^{3}q^{5}$	$15p^{3}q^{5}$	$10p^{3}q^{5}$	$6p^{3}q^{5}$	$3p^{3}q^{5}$	$p^{3}q^{5}$	$56p^{3}q^{5}$

確率分布表より、得点の期待値は
$\begin{aligned}1\times& 21p^{3}q^{5}+2\times 15p^{3}q^{5}+3\times 10p^{3}q^{5}\\&\hspace{40px} +4\times 6p^{3}q^{5}+5\times 3p^{3}q^{5}+6\times p^{3}q^{5}\end{aligned}$

途中式

$$ \begin{align} \quad&=\left( \begin{aligned} 1\times& 21+2\times 15+3\times 10\\& +4\times 6+5\times 3+6\times 1 \end{aligned} \right)p^{3}q^{5}\\ &=3(7+2\times 5+10+4\times 2+5+2)p^{3}q^{5}\\ \end{align} $$

$\quad=3\cdot 42p^{3}q^{5}$式Ｆ
とかける。

ここで、アイウエより
$p=\dfrac{2}{3}$
$q=\dfrac{1}{3}$
なので、式Ｆは
$3\cdot 42\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}=\dfrac{3\cdot 42\cdot 2^{3}}{3^{8}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{3\cdot 42\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}}&=\dfrac{3\cdot 3\cdot 14\cdot 2^{3}}{3^{8}}\\ &=\dfrac{14\cdot 2^{3}}{3^{6}} \end{align} $$

$\phantom{3 \cdot 42\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}}=\dfrac{112}{729}$
となる。

解答チ：１, ツ：１, テ：２, ト：７, ナ：２, ニ：９