大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅡB 第4問 解説

ア~カ

図A
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡB第4問 解説図A

図Aで、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$$=\vec{a}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$式A
ここで、ABCDは長方形なので、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$$=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$$=\vec{c}-\vec{b}$
となるから、式Aは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$$=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$
と表せる。

解答ア:a, イ:b

$\vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}$$=\vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}-\vec{a}$式B
ここで、$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}=\frac{1}{3}\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}=\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$
となるから、式Bは
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}=\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{3}-1\right)\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}$$\displaystyle =-\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$式C
と表せる。

解答ウ:2, エ:3, オ:1, カ:1

キ~セ

図B
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡB第4問 解説図B

$\vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}$を、$\vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}=s\vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}+t\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$と表す。
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}$は式Cで求めてあるけど、$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$がまだだ。
なので、まず$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$から始めよう。

$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$$=\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}-\vec{a}$式D
ここで、$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\vec{b}$
となるから、式Dは
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}$式E
と表せる。

$\vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}=s\vec{\mathrm{A}\mathrm{L}}+t\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}$
に式C,式Eを代入して、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}=s\left(-\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\right)+t\left(\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}\right)$
途中式 $\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}$$\displaystyle =-\frac{2}{3}s\vec{a}-\frac{1}{3}s\vec{b}+\frac{1}{3}s\vec{c}+\frac{1}{2}t\vec{b}-t\vec{a}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}$$\displaystyle =-\frac{2}{3}s\vec{a}-t\vec{a}-\frac{1}{3}s\vec{b}+\frac{1}{2}t\vec{b}+\frac{1}{3}s\vec{c}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\left(-\frac{2}{3}s-t\right)\vec{a}+\left(-\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t\right)\vec{b}+\frac{1}{3}s\vec{c}$式F

ここで、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}$なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\vec{a}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}$
これに式Fを代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\vec{a}+\left(-\frac{2}{3}s-t\right)\vec{a}+\left(-\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t\right)\vec{b}+\frac{1}{3}s\vec{c}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\left(1-\frac{2}{3}s-t\right)\vec{a}+\left(-\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t\right)\vec{b}+\frac{1}{3}s\vec{c}$式G
となる。

解答キ:1, ク:2, ケ:3, コ:3, サ:2, シ:3

また、点Nは辺OC上にあるので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=k\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$=k\vec{\mathrm{c}}$式H
と書ける。

式G$=$式Hより、
$\left\{\begin{array}{l}
1-\frac{2}{3}s-t=0\\
-\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=0\\
\frac{1}{3}s=k
\end{array}\right.$
である。この連立方程式を解くのだけど、スセにあたるのは$k$だから、$k$を求める方針で。
一番下の式を上の2つに代入して、まず$s$を消そう。
$\left\{\begin{array}{l}
1-2k-t=0\\
-k+\frac{1}{2}t=0
\end{array}\right.$
下の式を2倍して上の式と加減法をすると、$t$も消える。
  $1-2k-t=0$
$\underline{+)-2k+t=0}$
  $1-4k=0$
$k=\displaystyle \frac{1}{4}$
である。

解答ス:1, セ:4

ソ~ト

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cos\angle \mathrm{AOB}$式I
問題文より、$\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$である。
また、$\cos\angle \mathrm{AOB}$は、△OABに余弦定理を使って、
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}-2\cdot \mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}\cos\angle \mathrm{AOB}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}=\frac{\mathrm{O}\mathrm{A}^{2}+\mathrm{O}\mathrm{B}^{2}-\mathrm{A}\mathrm{B}^{2}}{2\cdot \mathrm{O}\mathrm{A}\cdot \mathrm{O}\mathrm{B}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}$$\displaystyle =\frac{1+1-(2r)^{2}}{2\cdot 1\cdot 1}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}$$\displaystyle =\frac{2-4r^{2}}{2}$
$\cos\angle \mathrm{AOB}$$=1-2r^{2}$

これを式Iに代入して、
$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 1\cdot(1-2r^{2})$
$\vec{a}\cdot\vec{b}$$=1-2r^{2}$
となる。

解答ソ:1, タ:2

別解

図C
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡB第4問 解説図C

$\cos\angle \mathrm{AOB}$は、2倍角の公式を使っても求められる。
図Cのように、Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとする。
△OABは$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$の二等辺三角形なので、$\mathrm{AH}=\mathrm{BH}=r$となる。

直角三角形$\mathrm{OAH}$において、$\angle \mathrm{AOH}=\theta$とすると、
$\sin\theta \displaystyle =\frac{\mathrm{A}\mathrm{H}}{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\displaystyle \sin\theta$$\displaystyle =\frac{r}{1}$
$\sin\theta$$=r$
である。

$\angle \mathrm{AOH}=\theta$より$\angle \mathrm{AOB}=2\theta$なので、
$\cos\angle \mathrm{AOB}=\cos 2\theta$
$\cos\angle \mathrm{AOB}$$=1-2\sin^{2}\theta$
$\cos\angle \mathrm{AOB}$$=1-2r^{2}$
となる。

思いつけば、余弦定理よりも計算は楽かも知れない。

$\mathrm{OB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CO}=1:2:\sqrt{3}$より、△OBCは$\angle \mathrm{BOC}=90^{\circ}$の直角三角形。
よって、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$⊥$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$なので、
$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$
である。

解答チ:0


$\vec{a}\cdot\vec{c}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{c}\right|\cos\angle \mathrm{AOC}$式J

$\cos\angle \mathrm{AOC}$は、△OACに余弦定理を使って、
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-2\cdot \mathrm{OA}\cdot \mathrm{OC}\cos\angle \mathrm{AOC}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOC}=\frac{\mathrm{O}\mathrm{A}^{2}+\mathrm{O}\mathrm{C}^{2}-\mathrm{A}\mathrm{C}^{2}}{2\cdot \mathrm{O}\mathrm{A}\cdot \mathrm{O}\mathrm{C}}$式K

ここで、$\mathrm{OA}=1$,$\mathrm{OC}=\sqrt{3}$である。
また、$\mathrm{AC}^{2}$は、辺の長さが$2r$と$2$の長方形ABCDの対角線なので、三平方の定理より
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$
$\mathrm{AC}^{2}$$=(2r)^{2}+2^{2}$
$\mathrm{AC}^{2}$$=4r^{2}+4$

これを式Kに代入して、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}=\frac{1+3-(4r^{2}+4)}{2\cdot 1\cdot\sqrt{3}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}$$\displaystyle =-\frac{4r^{2}}{2\sqrt{3}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}$$\displaystyle =-\frac{2r^{2}}{\sqrt{3}}$

これと、$\left|\vec{a}\right|=1$,$\left|\vec{\mathrm{c}}\right|=\sqrt{3}$を式Jに代入して、
$\vec{a}\cdot\vec{c}=1\cdot\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{2r^{2}}{\sqrt{3}}\right)$
$\vec{a}\cdot\vec{c}$$=-2r^{2}$
である。

解答ツ:-, テ:2


$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{1}{4}\vec{c}$ $\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\vec{b}$ なので、
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}$
である。

また、式Eより、
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}$
であるから、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\left(\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}\right)\cdot\left(\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{1}{8}\vec{b}\cdot\vec{c}-\frac{1}{4}\left|\vec{b}\right|^{2}-\frac{1}{4}\vec{a}\cdot\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{b}$
これにソタチツテを代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot 1^{2}-\frac{1}{4}(-2r^{2})+\frac{1}{2}(1-2r^{2})$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$\displaystyle =-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}r^{2}+\frac{1}{2}-r^{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{1}{4}-\frac{1}{2}r^{2}$
となる。

AM⊥MNのとき、$\vec{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}=0$なので、
$\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{2}r^{2}=0$
$r^{2}=\displaystyle \frac{1}{2}$
$r=\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$
$0 \lt r$なので、
$r=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
となる。

$\mathrm{AB}=2r$なので、
$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
$\mathrm{AB}$$=\sqrt{2}$
である。

解答ト:2