大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅡB 第2問 解説

ア~カ

$C$の式を微分して、
$y'=2x$
これに点Pの$x$座標を代入して、
$2a$
が、接線$\ell$の傾き。
傾き$2a$の直線が点P$(a,a^{2})$を通るので、$\ell$の式は、
$y-a^{2}=2a(x-a)$
$y=2ax-2a^{2}+a^{2}$
$y$$=2ax-a^{2}$
である。

解答ア:2, イ:a, ウ:2

接線$\ell$と$x$軸の交点なので、$\ell$の式の$y$に$0$を代入して、
$2ax-a^{2}=0$
$a(2x-a)=0$
$a\neq 0$なので、
$x=\displaystyle \frac{a}{2}$
である。
なので、交点Qの座標は
$\left(\frac{a}{2},0\right)$
となる。

解答エ:a, オ:2, カ:0

キ~ニ

図A
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡB第2問 解説図A

$S$は、図Aの赤い部分。
$C$の式が簡単なのでそのまま積分してもいいんだけど、積分の計算は別解を見てもらうとして、せっかくだから$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を使う練習をしよう。
$S=($赤$+$青$)-$青
と考える。

赤$+$青でできる三角形の面積を$S_{1}$とすると、$\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ より、
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot a^{2}$
$S_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{4}$

青の面積を$S_{2}$とする。
直線OPの式を$y=bx$とすると、
$S_{2}=\displaystyle \int_{0}^{a}(bx-x^{2})dx$
$S_{2}\displaystyle $$\displaystyle =-\int_{0}^{a}(x^{2}-bx)dx$

これに$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を使って、
$S_{2}=-\left(-\frac{1}{6}a^{3}\right)$
$S_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{6}$

$S=S_{1}-S_{2}$なので、
$S=\displaystyle \frac{a^{3}}{4}-\frac{a^{3}}{6}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3a^{3}}{12}-\frac{2a^{3}}{12}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{12}$式A
となる。

解答キ:3, ク:1, ケ:2

別解

$S$を積分して求めると、次のようになる。

$S=\displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{2}}x^{2}dx\ +\int_{\frac{a}{2}}^{a}\{x^{2}-(2ax-a^{2})\}dx$
これを普通に積分すると面倒なので、次のように変形する。

$S=\displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{2}}x^{2}dx\ +\int_{\frac{a}{2}}^{a}x^{2}dx-\int_{\frac{a}{2}}^{a}(2ax-a^{2})dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\int_{0}^{a}x^{2}dx\ -\int_{\frac{a}{2}}^{a}(2ax-a^{2})dx$
この式の後半部分は図Aの緑の三角形の面積。
積分して求めてもいいんだけれど、$\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ の方が楽だ。

$S=\displaystyle \int_{0}^{a}x^{2}dx\ -\frac{1}{2}\cdot\left(a-\frac{a}{2}\right)\cdot a^{2}$
途中式 $S\displaystyle $$\displaystyle =\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{a}-\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot a^{2}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{4}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4a^{3}}{12}-\frac{3a^{3}}{12}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{12}$式A
となる。

解答キ:3, ク:1, ケ:2

次は$T$だ。
$S$を求めたときのように計算してもいいんだけど、$T$は積分範囲がひとつにまとまっているので、普通に積分した方が計算が楽。
$T=\left[\frac{1}{3}x^{3}-ax^{2}+a^{2}x\right]_{a}^{2}$
途中式 $T$$=\left(\frac{1}{3}\cdot 2^{3}-a\cdot 2^{2}+a^{2}\cdot 2\right)$
           $-\left(\frac{1}{3}\cdot a^{3}-a\cdot a^{2}+a^{2}\cdot a\right)$
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8}{3}-4a+2a^{2}-\frac{a^{3}}{3}$
$T\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{a^{3}}{3}+2a^{2}-4a+\frac{8}{3}$式B
となる。

解答コ:3, サ:2, シ:4, ス:8, セ:3


式A,式Bより、
$U=S+T$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{12}-\frac{a^{3}}{3}+2a^{2}-4a+\frac{8}{3}$
$U\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{a^{3}}{4}+2a^{2}-4a+\frac{8}{3}$式C
である。

$0\leqq a\leqq 2$における$U$の最大・最小を求めるので、式Cを微分して増減表を書こう。
$U'=-\displaystyle \frac{3}{4}a^{2}+4a-4$
$U'=0$のとき、
$-\displaystyle \frac{3}{4}a^{2}+4a-4=0$
$3a^{2}-16a+16=0$
$(3a-4)(a-4)=0$
より、$a=\displaystyle \frac{4}{3}$,$4$
このうち、$4$は定義域に入らない。

また、 $a=0$のとき、
$U=\displaystyle \frac{8}{3}$

$a=2$のとき、
$U=-\displaystyle \frac{2^{3}}{4}+2\cdot 2^{2}-4\cdot 2+\frac{8}{3}$
$U\displaystyle $$\displaystyle =-2+\frac{8}{3}$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{3}$

$a=\displaystyle \frac{4}{3}$のとき、
$U=-\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{3}+2\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-4\cdot\frac{4}{3}+\frac{8}{3}$
途中式 $U\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{4^{2}}{3^{3}}+\frac{2\cdot 4^{2}}{3^{2}}-\frac{4^{2}}{3}+\frac{8}{3}$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8}{3^{3}}(-2+3\cdot 4-3^{2}\cdot 2+3^{2})$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8}{3^{3}}\cdot 1$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8}{27}$

以上から増減表を書くと、

$x$ $0$ $\cdots$ $\displaystyle \frac{4}{3}$ $\cdots$ $2$
$U'$ - $0$ $+$
$U$ $\displaystyle \frac{8}{3}$ $\searrow$ $\displaystyle \frac{8}{27}$ $\nearrow$ $\displaystyle \frac{2}{3}$

となる。

増減表より、$U$は、
$a=0$のとき 最大値$\displaystyle \frac{8}{3}$
$a=\displaystyle \frac{4}{3}$のとき 最小値$\displaystyle \frac{8}{27}$
をとる。

解答ソ:0, タ:8, チ:3, ツ:4, テ:3, ト:8, ナ:2, ニ:7