大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅡＢ 第２問 解説
ア～カ
$C$の式を微分して、
$y'=2x$
これに点Pの$x$座標を代入して、
$2a$
が、接線$\ell$の傾き。
傾き$2a$の直線が点P$(a,a^{2})$を通るので、$\ell$の式は、
$y-a^{2}=2a(x-a)$
$$
\begin{align}
y&=2ax-2a^{2}+a^{2}\\
&=2ax-a^{2}
\end{align}
$$
である。
解答ア：２, イ：ａ, ウ：２
接線$\ell$と$x$軸の交点なので、$\ell$の式の$y$に$0$を代入して、
$2ax-a^{2}=0$
$a(2x-a)=0$
$a\neq 0$なので、
$x=\dfrac{a}{2}$
である。
なので、交点Qの座標は
$\left(\dfrac{a}{2},\ 0\right)$
となる。
解答エ：ａ, オ：２, カ：０
キ～ニ
$S$は、図Ａの赤い部分。
$C$の式が簡単なのでそのまま積分してもいいんだけど、積分の計算は別解を見てもらうとして、せっかくだから$\dfrac{1}{6}$公式を使う練習をしよう。
$S=(\text{赤}+\text{青})-\text{青}$
と考える。
赤$+$青でできる三角形の面積を$S_{1}$とすると、
$\text{三角形の面積}=\dfrac{1}{2}\times\text{底辺}\times\text{高さ}$ より、
$$
\begin{align}
S_{1}&=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot a^{2}\\
&=\dfrac{a^{3}}{4}
\end{align}
$$
青の面積を$S_{2}$とする。
直線OPの式を$y=bx$とすると、
$$
\begin{align}
S_{2}&=\int_{0}^{a}(bx-x^{2})\,dx\\
&=-\int_{0}^{a}(x^{2}-bx)\,dx
\end{align}
$$
これに$\dfrac{1}{6}$公式を使って、
$$
\begin{align}
S_{2}&=-\left(-\dfrac{1}{6}a^{3}\right)\\
&=\dfrac{a^{3}}{6}
\end{align}
$$
$S=S_{1}-S_{2}$なので、
$$
\begin{align}
S&=\dfrac{a^{3}}{4}-\dfrac{a^{3}}{6}\\
&=\dfrac{3a^{3}}{12}-\dfrac{2a^{3}}{12}\\
&=\dfrac{a^{3}}{12} \class{tex_formula}{式Ａ}
\end{align}
$$
となる。
解答キ：３, ク：１, ケ：２
別解
$S$を積分して求めると、次のようになる。
$\displaystyle S=\int_{0}^{\tfrac{a}{2}}x^{2}dx\ +\int_{\tfrac{a}{2}}^{a}\{x^{2}-(2ax-a^{2})\}dx$
これを普通に積分すると面倒なので、次のように変形する。
$$
\begin{align}
S&=\int_{0}^{\tfrac{a}{2}}x^{2}\,dx\ +\int_{\tfrac{a}{2}}^{a}x^{2}\,dx\\
&\hspace{140px}-\int_{\tfrac{a}{2}}^{a}(2ax-a^{2})\,dx\\
&=\int_{0}^{a}x^{2}\,dx\ -\int_{\tfrac{a}{2}}^{a}(2ax-a^{2})\,dx
\end{align}
$$
この式の後半部分は図Ａの緑の三角形の面積。
積分して求めてもいいんだけれど、$\dfrac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ の方が楽だ。
$\displaystyle S=\int_{0}^{a}x^{2}\,dx\ -\dfrac{1}{2}\cdot\left(a-\dfrac{a}{2}\right)\cdot a^{2}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{S}&=\left[\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{a}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot a^{2}\\
&=\dfrac{a^{3}}{3}-\dfrac{a^{3}}{4}\\
&=\dfrac{4a^{3}}{12}-\dfrac{3a^{3}}{12}
\end{align}
$$
となる。
解答キ：３, ク：１, ケ：２
次は$T$だ。
$S$を求めたときのように計算してもいいんだけど、$T$は積分範囲がひとつにまとまっているので、普通に積分した方が計算が楽。
$T=\left[\dfrac{1}{3}x^{3}-ax^{2}+a^{2}x\right]_{a}^{2}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{T}&=\left(\dfrac{1}{3}\cdot 2^{3}-a\cdot 2^{2}+a^{2}\cdot 2\right)\\
&\hspace{60px}-\left(\dfrac{1}{3}\cdot a^{3}-a\cdot a^{2}+a^{2}\cdot a\right)\\
&=\dfrac{8}{3}-4a+2a^{2}-\dfrac{a^{3}}{3}
\end{align}
$$
となる。
解答コ：３, サ：２, シ：４, ス：８, セ：３
式Ａ，式Ｂより、
$$
\begin{align}
U&=S+T\\
&=\dfrac{a^{3}}{12}-\dfrac{a^{3}}{3}+2a^{2}-4a+\dfrac{8}{3}\\
&=-\dfrac{a^{3}}{4}+2a^{2}-4a+\dfrac{8}{3} \class{tex_formula}{式Ｃ}
\end{align}
$$
である。
$0\leqq a\leqq 2$における$U$の最大・最小を求めるので、式Ｃを微分して増減表を書こう。
$U'=-\dfrac{3}{4}a^{2}+4a-4$
$U'=0$のとき、
$-\dfrac{3}{4}a^{2}+4a-4=0$
$3a^{2}-16a+16=0$
$(3a-4)(a-4)=0$
より、$a=\dfrac{4}{3}$，$4$
このうち、$4$は定義域に入らない。
また、
$a=0$のとき、
$U=\dfrac{8}{3}$
$a=2$のとき、
$$
\begin{align}
U&=-\dfrac{2^{3}}{4}+2\cdot 2^{2}-4\cdot 2+\dfrac{8}{3}\\
&=-2+\dfrac{8}{3}\\
&=\dfrac{2}{3}
\end{align}
$$
$a=\dfrac{4}{3}$のとき、
$\begin{aligned}U=-\dfrac{1}{4}\cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^{3}+2\cdot &\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}\\& -4\cdot\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}\end{aligned}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{U}&=-\dfrac{4^{2}}{3^{3}}+\dfrac{2\cdot 4^{2}}{3^{2}}-\dfrac{4^{2}}{3}+\dfrac{8}{3}\\
&=\dfrac{8}{3^{3}}(-2+3\cdot 4-3^{2}\cdot 2+3^{2})\\
&=\dfrac{8}{3^{3}}\cdot 1
\end{align}
$$
以上から増減表を書くと、
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\dfrac{4}{3}$ | $\cdots$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $U'$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $U$ | $\dfrac{8}{3}$ | $\searrow$ | $\dfrac{8}{27}$ | $\nearrow$ | $\dfrac{2}{3}$ |
となる。
増減表より、$U$は、
$a=0$のとき 最大値$\dfrac{8}{3}$
$a=\dfrac{4}{3}$のとき 最小値$\dfrac{8}{27}$
をとる。
解答ソ：０, タ：８, チ：３, ツ：４, テ：３, ト：８, ナ：２, ニ：７