$x+1$を$A$とおくと、
$P-Q=a(A^{3}-x^{3})+b(A^{2}-x^{2})+c(A-x)$
$P-Q$$=a(A-x)(A^{2}+Ax+x^{2})$
                  $+b(A-x)(A+x)+c(A-x)$
$A-x=(x+1)-x=1$なので、
$P-Q=a(A^{2}+Ax+x^{2})+b(A+x)+c$
かなり楽になった。

あとは、$A$をもとにもどして展開しよう。
$P-Q=a\{(x+1)^{2}+(x+1)x+x^{2}\}$
                  $+b\{(x+1)+x\}+c$
$P-Q$$=a(3x^{2}+3x+1)+b(2x+1)+c$
$P-Q$$=3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c$式Ａ

解答ア：３, イ：３, ウ：２

ここで、
$\left\{\begin{array}{l}
3a=1\\
3a+2b=0\\
a+b+c=0
\end{array}\right.$
となる$a,b,c$を求める。連立方程式を解いて、
上の式より、
$a=\displaystyle \frac{1}{3}$
上の式を真ん中の式に代入して、
$1+2b=0$
$b=-\displaystyle \frac{1}{2}$

解答エ：－, オ：１, カ：２

これを下の式に代入して、
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+c=0$
$c=\displaystyle \frac{1}{6}$

解答キ：１, ク：６

このとき、
$P-Q=x^{2}$式Ｂ
なので、
$P+Q=(P-Q)+2Q$
$P+Q$$=x^{2}+2\left(\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x\right)$
$P+Q\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{3}x$式Ｃ

$P^{2}-Q^{2}=(P+Q)(P-Q)$に式Ｂ・Ｃを代入して、
$P^{2}-Q^{2}=\left(\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{3}x\right)\cdot x^{2}$
$P^{2}-Q^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{3}x^{5}+\frac{1}{3}x^{3}$
となる。

解答ケ：２, コ：３, サ：１, シ：３