ここで$\sin(2\theta+\alpha)$を単位円の形でグラフに描くと、図Ａのようになる。図中、円周の緑色の部分が定義域、赤い点が最大値、青い点が最小値を表している。

図Ａより、
$\sin(2\theta+\alpha)$は、 $2\displaystyle \theta+\alpha=\frac{\pi}{2}$のとき、最大値$1$ $2\displaystyle \theta+\alpha=\frac{3}{2}\pi$のとき、最小値$-1$ だから、
$-1\leqq\sin(2\theta+\alpha)\leqq 1$式Ｂ
これを使って式Ａ''を作る。
各辺を$\displaystyle \frac{5}{2}$倍して、
$-\displaystyle \frac{5}{2}\leqq\frac{5}{2}\sin(2\theta+\alpha)\leqq\frac{5}{2}$
各辺に$\displaystyle \frac{1}{2}$をたして、
$-2\displaystyle \leqq\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\sin(2\theta+\alpha)\leqq 3$
式Ａ''より、$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{2}\sin(2\theta+\alpha)=z$なので、
$-2\leqq z\leqq 3$式Ｂ'
である。

よって、
最大値は$3$
そのときの角度は、式Ｂ'から右辺を逆にたどっていって、式Ｂの右辺のとき。なので、
$2\displaystyle \theta+\alpha=\frac{\pi}{2}$式Ｃ
のとき。

解答オ：２, カ：３

式Ｃのとき、
$ 2\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}-\alpha$
より、
$\cos 2\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$なので、
$\cos 2\theta=\sin\alpha$式Ｃ'

解答キ：２

$\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}$と２倍角の公式より、式Ｃ'はさらに
$2\displaystyle \cos^{2}\theta-1=\frac{3}{5}$
$\displaystyle \cos^{2}\theta=\frac{4}{5}$

$ 0 \lt \cos\theta$なので、
$\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

解答ク：２, ケ：５, コ：５

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$なので、
$\displaystyle \sin^{2}\theta+\frac{4}{5}=1$
$\displaystyle \sin^{2}\theta=\frac{1}{5}$
$ 0 \lt \sin\theta$なので、
$\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\displaystyle \sin\theta$$\displaystyle =\frac{\sqrt{5}}{5}$
である。

解答サ：５, シ：５