Cの角の三角比は、３辺の長さが分かっているから、余弦定理より、
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CA}^{2}-2\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}\cos\angle \mathrm{ACB}$
$(2\sqrt{3})^{2}=\sqrt{6}^{2}+3^{2}-2\sqrt{6}\cdot 3\cos\angle \mathrm{ACB}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ACB}=\frac{\sqrt{6}^{2}+3^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}{2\sqrt{6}\cdot 3}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ACB}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{12}$

解答ア：６, イ：１, ウ：２

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$より、
$\sin^{2}\angle \mathrm{ACB}+\left(\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^{2}=1$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ACB}$$\displaystyle =\frac{12^{2}-6}{12^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ACB}$$\displaystyle =\frac{6\cdot 23}{12^{2}}$

$0 \lt \sin\angle \mathrm{ACB}$より、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ACB}=\frac{\sqrt{138}}{12}$

解答エ：１, オ：３, カ：８, キ：１, ク：２

この流れで外接円の半径なので、円Oの半径を$R$とすると、正弦定理より、
$2R=\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{138}}{12}}$
$R=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{138}}{12}}$
$R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{138}}$
$R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{12}{\sqrt{46}}$
分母を有理化して、
$R=\displaystyle \frac{6\sqrt{46}}{23}$

解答ケ：６, コ：４, サ：６, シ：２, ス：３

XY∥BCより、平行線の錯角は等しいので、
∠XAB=∠ABC

解答セ：１

接弦定理より、
∠XBA=∠ACB

解答ソ：２

２角が等しいから、△XAB∽△ABCなので、
∠AXB=∠BAC

解答タ：０

△XAB∽△ABCより、
$\mathrm{AX}:\mathrm{AB}=\mathrm{AB}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AX}:2\sqrt{3}=2\sqrt{3}:\sqrt{6}$
$\sqrt{6}\mathrm{AX}=12$式Ａ
$\mathrm{AX}=2\sqrt{6}$式Ａ'
となる。

解答チ：２, ツ：６

同様に、△YCA∽△ABCなので、
$\mathrm{AY}:\mathrm{CA}=\mathrm{CA}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AY}:3=3:\sqrt{6}$
$\sqrt{6}\mathrm{AY}=9$式Ｂ
$\displaystyle \mathrm{AY}=\frac{9}{\sqrt{6}}$
$\displaystyle \mathrm{AY}$$\displaystyle =\frac{3\sqrt{6}}{2}$式Ｂ'

解答テ：３, ト：６, ナ：２

また、XY∥BCなので、
△PDC∽△PAY
△PBD∽△PXA
で、この２組の相似な三角形の相似比は等しい。
よって、
$\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{Y}}{\mathrm{X}\mathrm{A}}$式Ｃ
$\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}\mathrm{A}\mathrm{Y}}{\sqrt{6}\mathrm{A}\mathrm{X}}$式Ｃ'

式Ａ・Ｂより、
$\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}$$\displaystyle =\frac{9}{12}$
$\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}$$\displaystyle =\frac{3}{4}$

解答ニ：３, ヌ：４

アドバイス

式Ｃに式Ａ'・Ｂ'を代入するより、式Ｃ'のように変形して式Ａ・Ｂを代入した方が計算が楽。
機械的に最後まで変形した値を代入するのではなく、途中式も含めて計算しやすい形を使おう。

よって、BD:DC=4:3なので、
$\displaystyle \mathrm{DC}=\frac{3}{7}\mathrm{BC}$
$\displaystyle \mathrm{DC}$$\displaystyle =\frac{3\sqrt{6}}{7}$

解答ネ：３, ノ：６, ハ：７

△ACDで、余弦定理より、
$\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{DC}^{2}-2\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{DC}\cdot\cos\angle \mathrm{ACB}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =3^{2}+\left(\frac{3\sqrt{6}}{7}\right)^{2}-2\cdot 3\cdot\frac{3\sqrt{6}}{7}\cdot\frac{\sqrt{6}}{12}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =3^{2}+\frac{3^{2}\cdot 6}{7^{2}}-\frac{3\cdot 3}{7}$
$\mathrm{AD}^{2}$$=\left(\frac{3}{7}\right)^{2}(7^{2}+6-7)$
$\mathrm{AD}^{2}$$=\left(\frac{3}{7}\right)^{2}\cdot 48$
$0 \lt \mathrm{AD}$なので、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{48}}{7}$
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{48}}{7}$
$\displaystyle \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{12\sqrt{3}}{7}$
である。

解答ヒ：１, フ：２, ヘ：３, ホ：７