大学入試センター試験 2013年(平成25年) 追試 数学ⅠＡ 第４問 解説
ア～ケ
９個の玉から４個選ぶので、全ての場合の数は
${}_{9}\mathrm{C}_{4}=126$通り。
解答ア：１, イ：２, ウ：６
以下、表を書いて考える。
表の中の記号はそれぞれ、
○は、出なければいけない玉。
×は、出てはいけない玉。
から$n$は、つながったマスの中から$n$個出る。
ことを表している。
４個の玉の数字が異なる場合の数は
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | から１ | ||||
| 2 | から１ | ||||
| 3 | ○ | ||||
| 4 | ○ | ||||
表Ａより、
${}_{5}\mathrm{C}_{1}\times {}_{2}\mathrm{C}_{1}\times 1\times 1=10$通り。
解答エ：１, オ：０
４個の色が異なる場合の数は、色によって玉の数が違うので、場合分けをしないといけない。
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | から１ | から１ | から２ | ||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| 4 | |||||
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | から１ | × | から３ | ||
| 2 | × | ||||
| 3 | |||||
| 4 | |||||
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | × | から１ | から３ | ||
| 2 | × | ||||
| 3 | × | ||||
| 4 | × | ||||
の３通りに分けて考えよう。
パターンＡの場合、表Ｂより、
${}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{2}\mathrm{C}_{1}\times {}_{3}\mathrm{C}_{2}$通り。
パターンＢの場合、表Ｃより、
${}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{3}\mathrm{C}_{3}$通り。
パターンＣの場合、表Ｄより、
${}_{2}\mathrm{C}_{1}\times {}_{3}\mathrm{C}_{3}$通り。
３つの場合を全てたして、
${}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{2}\mathrm{C}_{1}\times {}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{3}\mathrm{C}_{3}+{}_{2}\mathrm{C}_{1}\times {}_{3}\mathrm{C}_{3}=30$通り。
解答カ：３, キ：０
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | から１ | から３ | |||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| 4 | |||||
４個の中に青玉が１個だけある場合の数は、表Ｅより、
${}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{5}\mathrm{C}_{3}=40$通り。
解答ク：４, ケ：０
(1)
得点が２点になるのは、
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | × | から３ | |||
| 2 | ○ | × | |||
| 3 | × | ||||
| 4 | × | ||||
表Ｆの場合のみ。
全体の場合の数は、$126$通りなので、確率は
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{126}=\frac{2}{63}$
解答コ：２, サ：６, シ：３
得点が３点になるのは、
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ○ | から２ | |||
| 2 | × | ○ | |||
| 3 | × | ||||
| 4 | × | ||||
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | × | から３ | |||
| 2 | × | ||||
| 3 | ○ | ||||
| 4 | × | ||||
の２パターン考えられる。
パターンＡの場合、表Ｇより、${}_{4}\mathrm{C}_{2}$通り
パターンＢの場合、表Ｈより、${}_{5}\mathrm{C}_{3}$通り
以上より、得点が３点となる確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{5}\mathrm{C}_{3}}{126}=\frac{8}{63}$
である。
解答ス：８, セ：６, ソ：３
得点が４点となるのは、
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ○ | から３ | |||
| 2 | × | × | |||
| 3 | × | ||||
| 4 | × | ||||
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | × | から２ | |||
| 2 | ○ | ○ | |||
| 3 | × | ||||
| 4 | × | ||||
| 青 | 黄 | 黒 | 白 | 緑 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | × | から３ | |||
| 2 | × | ||||
| 3 | × | ||||
| 4 | ○ | ||||
の３パターン考えられる。
パターン１の場合、表Ｉより、${}_{4}\mathrm{C}_{3}$通り
パターン２の場合、表Ｊより、${}_{4}\mathrm{C}_{2}$通り
パターン３の場合、表Ｋより、${}_{5}\mathrm{C}_{3}$通り
以上より、得点が４点となる確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{5}\mathrm{C}_{3}}{126}=\frac{10}{63}$
である。
解答タ：１, チ：０, ツ：６, テ：３
(2)
以上から確率分布表を書くと、
| 得点 | ０ | ２ | ３ | ４ | 計 |
|---|---|---|---|---|---|
| 確率 | $\displaystyle \frac{2}{63}$ | $\displaystyle \frac{8}{63}$ | $\displaystyle \frac{10}{63}$ | $1$ |
となる。得点が１になることはない。
表Ｌより、得点の期待値は
$\displaystyle \frac{2\cdot 2+3\cdot 8+4\cdot 10}{63}=\frac{68}{63}$
である。
解答ト：６, ナ：８, ニ：６, ヌ：３