最初に、条件$s$だけ三角比なので、他の条件に合わせて角度に変えておこう。
$\cos A\cos B \gt 0$
より、
$\cos A \lt 0\cap\cos B \lt 0$
または
$0 \lt \cos A\cap 0 \lt \cos B$

$A,B$は三角形の内角だから、
$0 \lt A \lt 180^{\circ},0 \lt B \lt 180^{\circ}$なので、
$0 \lt \cos A\cap 0 \lt \cos B$のとき
$\left\{\begin{array}{l}
A \gt 90^{\circ}\\
B \gt 90^{\circ}
\end{array}\right.$
となるけど、これは存在しない。

$\cos A \lt 0\cap\cos B \lt 0$のとき
$\left\{\begin{array}{l}
A \lt 90^{\circ}\\
B \lt 90^{\circ}
\end{array}\right.$

よって、条件$s$は
$A \lt 90^{\circ}$かつ$B \lt 90^{\circ}$である
と言いかえられる。

復習

復習から始めよう。
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の逆は、$\mathrm{A}\Leftarrow \mathrm{B}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$裏は、$\overline{\mathrm{A}}\Rightarrow\overline{\mathrm{B}}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の対偶は、$\overline{\mathrm{A}}\Leftarrow\overline{\mathrm{B}}$
だった。

よって、$p\Rightarrow q$の対偶は、$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$。
これは、
$\overline{B \gt 45^{\circ}\cup C \gt 45^{\circ}}\Rightarrow\overline{A \lt 90^{\circ}}$
ド・モルガンの法則より
$\overline{B \gt 45^{\circ}}\cap\overline{C \gt 45^{\circ}}\Rightarrow\overline{A \lt 90^{\circ}}$
となるので、
$B\leqq 45^{\circ}\cap C\leqq 45^{\circ}\Rightarrow A\geqq 90^{\circ}$
である。

解答ス：５, セ：０

ソについては、対偶を使って考えよう。
(1)より、$p\Rightarrow q$の対偶は$B\leqq 45^{\circ}\cap C\leqq 45^{\circ}\Rightarrow A\geqq 90^{\circ}$で、真。
また、$q\Rightarrow p$の対偶は$A\geqq 90^{\circ}\Rightarrow B\leqq 45^{\circ}\cap C\leqq 45^{\circ}$で、偽。
$p\Rightarrow q$ ○
$p\Leftarrow q$ ×
なので、十分条件。

解答ソ：２

次はタだ。
ページ始めに考えたように、条件$s$は
$A \lt 90^{\circ}$かつ$B \lt 90^{\circ}$である
と言いかえられる。
これは条件$r$と等しいので、必要十分条件。

解答タ：０