大学入試センター試験 2013年(平成25年) 追試 数学ⅡB 第4問 解説

(1)

$\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\angle \mathrm{AOB}=\vec{a}\cdot\vec{b}$
より、
$2\cdot 6\cdot\cos\angle \mathrm{AOB}=9$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}=\frac{9}{2\cdot 6}=\frac{3}{4}$

解答ア:3, イ:4

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$より、
$\sin^{2}\angle \mathrm{AOB}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=1$
$\sin^{2}\angle \mathrm{AOB}=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{AOB}$$\displaystyle =\frac{4^{2}-3^{2}}{4^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{AOB}$$\displaystyle =\frac{7}{4^{2}}$

$0 \lt \sin\angle \mathrm{AOB}$なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

解答ウ:7, エ:4

これを三角形の面積の公式$ S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\theta$に代入して、
△OAB$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}$
△OAB$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3\sqrt{7}}{2}$

解答オ:3, カ:7, キ:2

(2)

$\vec{b}\cdot\vec{c}=\left|\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{c}\right|\cdot\cos\angle \mathrm{BOC}$
なので、
$\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=6\cdot 2x\cdot\frac{3}{4}$
$\vec{b}\cdot\vec{c}$$=9x$

解答ク:9

$\vec{c}\cdot\vec{n}=\vec{c}\cdot(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c})$
$\vec{c}\cdot\vec{n}$$=s\vec{a}\cdot\vec{c}+t\vec{b}\cdot\vec{c}-\left|\vec{c}\right|^{2}$

これに
問題文より
$\vec{a}\cdot\vec{c}=4$
$\left|\vec{c}\right|=2x$
クより
$\vec{b}\cdot\vec{c}=9x$
を代入して、
$\vec{c}\cdot\vec{n}=s\cdot 4+t\cdot 9x-(2x)^{2}$
$\vec{c}\cdot\vec{n}$$=4s+9tx-4x^{2}$
となる。

解答ケ:4, コ:9, サ:4


この問題は図を描いてもあまり助けにならないけれど、イメージのために載せておく。

図A
大学入試センター試験2013年追試 数学ⅡB第4問 解説図A

復習

$\alpha$上の2つのベクトルを$\vec{a},\vec{b}$とする。
($\vec{a}\neq\vec{0},\vec{b}\neq\vec{0},\vec{a}\nparallel\vec{b}$)
このとき、
$\vec{h}$が平面$\alpha$に垂直 $\Leftrightarrow\ \vec{h}$⊥$\vec{a}$ かつ $\vec{h}$⊥$\vec{b}$
だった。

よって、
$\vec{a}\cdot\vec{n}=0$
$\vec{b}\cdot\vec{n}=0$

解答シ:0, ス:0

$\vec{a}\cdot\vec{n}=4s+9t-4$
$\vec{b}\cdot\vec{n}=9(s+4t-x)$
なので、シスより
$\left\{\begin{array}{l}
4s+9t-4=0\\
9(s+4t-x)=0
\end{array}\right.$
この連立方程式を解く。

下の式より、
$s+4t-x=0$
$s=x-4t$式A
上の式に代入して、
$4(x-4t)+9t-4=0$
$4x-16t+9t-4=0$
$7t=4(x-1)$
$t=\displaystyle \frac{4}{7}(x-1)$式B
これを式Aに代入して、
$s=x-4\displaystyle \cdot\frac{4}{7}(x-1)$
$s\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{7}(9x-16)$式C

解答セ:7, ソ:9, タ:1, チ:6, ツ:4


$\left|\vec{n}\right|^{2}=(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{n}$
$\left|\vec{n}\right|^{2}$$=s\vec{a}\cdot\vec{n}+t\vec{b}\cdot\vec{n}-\vec{c}\cdot\vec{n}$
シスより、$\vec{a}\cdot\vec{n}=0$、$\vec{b}\cdot\vec{n}=0$、
ケコサより、$\vec{c}\cdot\vec{n}=4s+9tx-4x^{2}$なので、
$\left|\vec{n}\right|^{2}=-(4s+9tx-4x^{2})$
これに式B・Cを代入して、
$\left|\vec{n}\right|^{2}=-\left[4\left\{-\frac{1}{7}(9x-16)\right\}+9\left\{\frac{4}{7}(x-1)\right\}x-4x^{2}\right]$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =4\left\{\frac{1}{7}(9x-16)\right\}-9\left\{\frac{4}{7}(x-1)\right\}x+\frac{7\cdot 4}{7}x^{2}$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{4}{7}\{(9x-16)-9(x-1)x+7x^{2}\}$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{4}{7}(9x-16-9x^{2}+9x+7x^{2})$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{4}{7}(-2x^{2}+18x-16)$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =-\frac{8}{7}(x^{2}-9x+8)$

解答テ:8, ト:9, ナ:8

これを平方完成して、
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}=-\frac{8}{7}\left\{x^{2}-2\cdot\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-\left(\frac{9}{2}\right)^{2}+8\right\}$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =-\frac{8}{7}\left\{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}-\frac{81}{4}+\frac{32}{4}\right\}$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =-\frac{8}{7}\left\{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}-\frac{49}{4}\right\}$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =-\frac{8}{7}\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{8}{7}\cdot\frac{49}{4}$
$\displaystyle \left|\vec{n}\right|^{2}$$\displaystyle =-\frac{8}{7}\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+14$
となる。

解答ニ:9, ヌ:2, ネ:1, ノ:4