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二次式の展開の公式

式Ａを両辺２乗して、
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=1$
これに式Ｂを代入して、
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot(-2)=1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=5$式Ｄ

解答ア：５

$abc\neq 0$なので、
$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=$イ
の両辺に$abc$をかけて、
$ bc+ca+ab=abc\times$イ
これに式Ｂ・Ｃを代入して、
$-$イ$=-2$
イ$=2$

解答イ：２

$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$
の両辺を２乗して、
$\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4$
$\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=4-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)$
$(\ )$内を通分して、
$\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$$\displaystyle =4-2\cdot\frac{c+a+b}{abc}$
これに式Ａ・Ｃを代入して、
$\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$$\displaystyle =6$式Ｅ

解答ウ：６

二次式$A$の右辺を展開して、
$A=\left(a^{2}x^{2}-2x+\frac{1}{a^{2}}\right)+\left(b^{2}x^{2}-2x+\frac{1}{b^{2}}\right)$
                 $+\left(c^{2}x^{2}-2x+\frac{1}{c^{2}}\right)$
同類項をまとめると、
$A$$=(a^{2}+b^{2}+c^{2})x^{2}-6x+\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)$
これに式Ｄ・Ｅを代入して、
$A$$=5x^{2}-6x+6$
となる。

解答エ：５, オ：６, カ：６

$A=7$なので、
$5x^{2}-6x+6=7$
$5x^{2}-6x-1=0$

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２次方程式の解の公式

解の公式より、
$x=\displaystyle \frac{6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 5\cdot(-1)}}{2\cdot 5}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6\pm\sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}+4\cdot 5}}{2\cdot 5}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6\pm 2\sqrt{3^{2}+5}}{2\cdot 5}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3\pm\sqrt{14}}{5}$
である。

解答キ：３, ク：１, ケ：４, コ：５

アドバイス

方程式$ax^{2}+bx+c=0$の$b$が偶数のとき、$b=2n$とおいて、
$x=\displaystyle \frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-ac}}{a}$
とする解の公式もあるけど、上の計算のように√の中を因数分解すると、すぐにこの公式と同じ形になる。なので、この公式は憶える必要はない。てか、個人的には、この公式に頼ると因数分解をしなくなるので、むしろ害があると思ってます。