大学入試センター試験 2014年(平成26年) 追試 数学ⅠＡ 第４問 解説
(1)
Ａの玉が出る確率は、$\displaystyle \frac{3}{6}$ Ｂの玉が出る確率は、$\displaystyle \frac{2}{6}$ Ｃの玉が出る確率は、$\displaystyle \frac{1}{6}$ 出した玉はそのつど袋に戻すので、この確率は変わらない。
(i)
ＡＡＢＣの順に玉が出ればいいので、
$\displaystyle \frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{72}$
解答ア：１, イ：７, ウ：２
(ii)
Ｂが２回以上勝つ確率をそのまま求めようとすると、
Ｂが２回勝つ、３回勝つ、４回勝つ、の３パターン計算しないといけない。
なので、余事象（条件に合わない場合）を求めて、１から引こう。
余事象は、
Ｂが勝たない、１回勝つ の２パターン。
Ｂが勝たない場合は
$\displaystyle \left(\frac{4}{6}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}$
Ｂが１回勝つ場合は、
４回のうち１回Ｂが勝つと考えると、
$\displaystyle \frac{2}{6}\cdot\left(\frac{4}{6}\right)^{3}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}$
Ｂが、勝つ・負ける・負ける・負けるの４つを一列に並べると考えると、
$\displaystyle \frac{2}{6}\cdot\left(\frac{4}{6}\right)^{3}\cdot\frac{4!}{3!}$
どちらにしても、計算すると
$=\displaystyle \frac{2^{3}\cdot 4}{3^{4}}$
この２つをたして、
$\displaystyle \frac{2^{4}}{3^{4}}+\frac{2^{3}\cdot 4}{3^{4}}=\frac{2^{4}(1+2)}{3^{4}}$
$\displaystyle \frac{2^{4}}{3^{4}}+\frac{2^{3}\cdot 4}{3^{4}}$$\displaystyle =\frac{2^{4}}{3^{3}}$
$\displaystyle \frac{2^{4}}{3^{4}}+\frac{2^{3}\cdot 4}{3^{4}}$$\displaystyle =\frac{16}{27}$
これを１から引くので、
$1-\displaystyle \frac{16}{27}=\frac{11}{27}$
解答エ：１, オ：１, カ：２, キ：７
(iii)
６回のうち３回Ａが勝ち、残りの３回のうち２回Ｂが勝つと考えると、
$\displaystyle \left(\frac{3}{6}\right)^{3}\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot {}_{6}\mathrm{C}_{3}\cdot {}_{3}\mathrm{C}_{2}$
Ａ・Ａ・Ａ・Ｂ・Ｂ・Ｃを一列に並べると考えると、
$\displaystyle \left(\frac{3}{6}\right)^{3}\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{6!}{3!\cdot 2!}$
どちらにしても、計算すると、
$=\displaystyle \frac{5}{36}$
解答ク：５, ケ：３, コ：６
(2)
ＡとＢが対戦する場合、 Ａが勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$ 負ける確率は$\displaystyle \frac{2}{5}$ ＡとＣが対戦する場合、 Ａが勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{4}$ 負ける確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$ ＢとＣが対戦する場合、 Ｂが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$ 負ける確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ である。
(i)
３人が同じ金額ずつ受け取るのは、３人とも１勝１敗だったとき。
そうなるのは、表Ａ・表Ｂの２パターンが考えられる。
| 相手 | |||
|---|---|---|---|
| Ａ | Ｂ | Ｃ | |
| Ａ | － | 勝 | 負 |
| Ｂ | 負 | － | 勝 |
| Ｃ | 勝 | 負 | － |
| 相手 | |||
|---|---|---|---|
| Ａ | Ｂ | Ｃ | |
| Ａ | － | 負 | 勝 |
| Ｂ | 勝 | － | 負 |
| Ｃ | 負 | 勝 | － |
以下、ＡＢの対戦・ＡＣの対戦・ＢＣの対戦の順にかけ算をする。
表Ａの場合、$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}$
表Ｂの場合、$\displaystyle \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}$
両方たして、
$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}$
$=\displaystyle \frac{1}{5}$
解答サ：１, シ：５
(ii)
対戦数は全部で３回で、引き分けはないから、２人が同率勝者になり、30万円ずつ受け取ることはない。
なので、Ａが20万円以上受け取るのは、
３人とも１勝１敗の場合(20万円)
Ａが２勝する場合(60万円)
の２パターン。
３人とも１勝１敗の確率は、(i)より
$\displaystyle \frac{1}{5}$
Ａが２勝する場合は、
$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{9}{20}$
最後の$1$は、ＢとＣとの対戦ではどちらが勝ってもいいため。
両方たして、
$\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{9}{20}$
$=\displaystyle \frac{4+9}{20}$
$=\displaystyle \frac{13}{20}$
解答ス：１, セ：３, ソ：２, タ：０
(iii)
受け取る賞金額は０・20万円・60万円の３パターン。
(i),(ii)から、Ａについて確率分布表を書くと、
| 賞金 | 0 | 20万円 | 60万円 | 計 |
|---|---|---|---|---|
| 確率 | $\displaystyle \frac{1}{5}$ | $\displaystyle \frac{9}{20}$ | $1$ |
表Ｃより、Ａが受け取る賞金の期待値は、
$20\displaystyle \cdot\frac{1}{5}+60\cdot\frac{9}{20}=31$
より、31万円。
解答チ：３, ツ：１
Ｂについて、
Ｂが２勝する確率は、
$\displaystyle \frac{2}{5}\cdot 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{15}$
よって、Ｂについて確率分布表を書くと、
| 賞金 | 0 | 20万円 | 60万円 | 計 |
|---|---|---|---|---|
| 確率 | $\displaystyle \frac{1}{5}$ | $\displaystyle \frac{4}{15}$ | $1$ |
より、Ｂが受け取る賞金の期待値は、
$20\displaystyle \cdot\frac{1}{5}+60\cdot\frac{4}{15}=20$
より、20万円。
解答テ：２, ト：０
Ａの期待値＋Ｂの期待値＋Ｃの期待値＝賞金総額 なので、
$60-(31+20)=9$
より、Ｃが受け取る賞金の期待値は９万円。
解答ナ：９
別解
Ｃの期待値は、上の引き算が簡単だけれど、Ａ・Ｂと同じ方法で求めてもそれほどの手間ではない。
Ｃが２勝する確率は、
$1\displaystyle \cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$
よって、Ｃについて確率分布表を書くと、
| 賞金 | 0 | 20万円 | 60万円 | 計 |
|---|---|---|---|---|
| 確率 | $\displaystyle \frac{1}{5}$ | $\displaystyle \frac{1}{12}$ | $1$ |
より、Ｃが受け取る賞金の期待値は、
$20\displaystyle \cdot\frac{1}{5}+60\cdot\frac{1}{12}=9$
より、９万円。
解答ナ：９