大学入試センター試験 2014年(平成26年) 追試 数学ⅡB 第3問 解説

解説

①に$n=1,\ a_{1}=4$を代入して、
$a_{2}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+1\right)\cdot 4+3+3$
$a_{2}$$=8$

解答ア:8

①に$n=2,\ a_{2}=8$を代入して、
$a_{3}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot 8+3\cdot 2+3$
$a_{3}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}\cdot 8+3\cdot 2+3$
$a_{3}$$=3+3\cdot 2+3$
$a_{3}$$=12$

解答イ:1, ウ:2

①に$n=3,\ a_{2}=12$を代入して、
$a_{4}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot 12+3\cdot 3+3$
$a_{4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdot 12+3\cdot 3+3$
$a_{4}$$=4+3\cdot 3+3$
$a_{4}$$=16$

解答エ:1, オ:6

より、$\{a_{n}\}=\{4,\ 8,\ 12,\ 16,\ \ldots\}$
となるので、
$a_{n}=4n$
と推定できる。

解答カ:1


キ・クは、真面目に帰納法を考えていると時間もかかるし、この部分だけ作ろう。

復習

数学的帰納法とは、$a,n$を整数として、
$A$が$a$以上のすべての$n$で成り立つことを、 $A$が$n=a$のときに成り立つ $A$が$n=k$のときに成り立つと仮定すると、$n=k+1$のときにも成り立つ ことにより証明する方法だった。

この問題にあてはめると、
$a_{n}=4n$がすべての自然数について成り立つことを、 $a_{n}=4n$が$n=1$のときに成り立つ $a_{n}=4n$が$k$のときに成り立つと仮定すると、$n=k+1$のときにも成り立つ によって証明するはずだ。

キは「$a_{n}=4n$が$n=k+1$のときにも成り立つ」ことを示す部分なので、$a_{n}=4n$に$n=k+1$を代入して、
$a_{n+1}=4(k+1)=4k+4$

解答キ:3

クは「$n=k+1$のときにも成り立つ」の文章だから、

解答ク:0


以上より、$a_{n}=4n$である。
この数列の初項から第$n$項までの和$S_{n}$は、
等差数列の和の公式から、
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n})$
としてもよいし、
Σを使って
$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}4k$
としてもよい。
どちらの方法をとっても手間はほとんど変わらず、
$S_{n}=2n^{2}+2n$
となる。

解答ケ:2, コ:2


④と①を辺々引いて、
$-)\displaystyle $$b_{n+1}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)b_{n}+3n+3$
$\underline{-)a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)a_{n}+3n+3}$
$b_{n+1}-a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)(b_{n}-a_{n})$式A

ここで、
$c_{n}=\displaystyle \frac{b_{n}-a_{n}}{n}$
とおくので、
$\left\{\begin{array}{l}
b_{n}-a_{n}=nc_{n}\\
b_{n+1}-a_{n+1}=(n+1)c_{n+1}
\end{array}\right.$

これを式Aに代入して、
$(n+1)c_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)nc_{n}$
$(n+1)c_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot nc_{n}$
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{4}c_{n}$
となるので、$\{c_{n}\}$は、
初項$b_{1}-a_{1}=7-4=3$
公比$\displaystyle \frac{1}{4}$
の等比数列である。

解答サ:3, シ:1, ス:4

一般項は、
$c_{n}=3\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
$c_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{4^{n-1}}$式B
となる。

解答セ:3, ソ:4, タ:1


以上から$b_{n}$を求めると、問題文のマスから
$b_{n}=4n+\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}$
となる。

ちゃんと計算すると、
⑤に②・式Bを代入して、
$\displaystyle \frac{3}{4^{n-1}}=\frac{b_{n}-4n}{n}$
両辺に$n$をかけて、
$b_{n}-4n=\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}$
$-4n$を移項して、
$b_{n}=4n+\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}$
である。


次は$\{b_{n}\}$の和と見せかけて、それはただの前フリで、実は違うものを求める問題。

$U_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kc_{k}$とおき、$U_{n}$を求める。
式Bを$U_{n}$の式に代入して、
$U_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\frac{3}{4^{k-1}}$
$U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}3k\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}$
だけど、こんなΣの公式はない。

アドバイス

Σの式で行き詰まったら、項を並べて書いてみよう。


見にくいので、$\displaystyle \frac{1}{4}=r$として書く。
$U_{n}=3r^{0}+6r^{1}+9r^{2}+$
       $\cdots+3(n-1)\cdot r^{n-2}+3n\cdot r^{n-1}$式C
どこかで見た形になった。(等差数列×等比数列)の和の問題だ。
なので、お約束の解き方をしよう。

式Cの両辺に$r$をかけて、
$rU_{n}=3\cdot r^{1}+6\cdot r^{2}+9\cdot r^{3}+$
       $\cdots+3(n-1)r^{n-1}+3n\cdot r^{n}$式C'

式Cから式C'を辺々引いて、
$U_{n}-rU_{n}=3\cdot r^{0}+(6-3)\cdot r^{1}+(9-6)\cdot r^{2}+$
              $\cdots+\{3n-3(n-1)\}\cdot r^{n-1}-3n\cdot r^{n}$
$U_{n}-rU_{n}$$=\underline{3+3r+3r^{2}+\cdots+3r^{n-1}}-3n\cdot r^{n}$
下線部は、一般項$3r^{n-1}$、項数$n$の等比数列なので、
$U_{n}-rU_{n}$$=\sum_{k=1}^{n}3r^{k-1}-3n\cdot r^{n}$
$r$をもとにもどして、
$U_{n}-\displaystyle \frac{1}{4}U_{n}=\sum_{k=1}^{n}3\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}-3n\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
問題文のマスに合う形になおして、
$U_{n}-\displaystyle \frac{1}{4}U_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{4^{k-1}}-\frac{3n}{4^{n}}$式D

解答チ:3, ツ:3

Σの公式から、式Dはさらに、
$U_{n}-\displaystyle \frac{1}{4}U_{n}=3\cdot\frac{1-\frac{1}{4^{n}}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{3n}{4^{n}}$
$\displaystyle \left(1-\frac{1}{4}\right)U_{n}=3\cdot\frac{1-\frac{1}{4^{n}}}{\frac{3}{4}}-\frac{3n}{4^{n}}$
$\displaystyle \frac{3}{4}U_{n}=3\cdot\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)\cdot\frac{4}{3}-\frac{3n}{4^{n}}$
$U_{n}=3\displaystyle \cdot\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)\cdot\frac{4^{2}}{3^{2}}-\frac{3n}{4^{n}}\cdot\frac{4}{3}$
$U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{2}}{3}-\frac{4^{2}}{3\cdot 4^{n}}-\frac{3n\cdot 4}{3\cdot 4^{n}}$
$U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{16}{3}-\frac{3n+4}{3\cdot 4^{n-1}}$
となる。

解答テ:1, ト:6, ナ:3, ニ:3, ヌ:4, ネ:4