①に$n=1,\ a_{1}=4$を代入して、
$a_{2}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+1\right)\cdot 4+3+3$
$a_{2}$$=8$

解答ア：８

①に$n=2,\ a_{2}=8$を代入して、
$a_{3}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot 8+3\cdot 2+3$
$a_{3}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}\cdot 8+3\cdot 2+3$
$a_{3}$$=3+3\cdot 2+3$
$a_{3}$$=12$

解答イ：１, ウ：２

①に$n=3,\ a_{2}=12$を代入して、
$a_{4}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot 12+3\cdot 3+3$
$a_{4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdot 12+3\cdot 3+3$
$a_{4}$$=4+3\cdot 3+3$
$a_{4}$$=16$

解答エ：１, オ：６

より、$\{a_{n}\}=\{4,\ 8,\ 12,\ 16,\ \ldots\}$
となるので、
$a_{n}=4n$②
と推定できる。

解答カ：１

キ・クは、真面目に帰納法を考えていると時間もかかるし、この部分だけ作ろう。

この問題にあてはめると、
$a_{n}=4n$がすべての自然数について成り立つことを、 $a_{n}=4n$が$n=1$のときに成り立つ $a_{n}=4n$が$k$のときに成り立つと仮定すると、$n=k+1$のときにも成り立つ によって証明するはずだ。

キは「$a_{n}=4n$が$n=k+1$のときにも成り立つ」ことを示す部分なので、$a_{n}=4n$に$n=k+1$を代入して、
$a_{n+1}=4(k+1)=4k+4$

解答キ：３

クは「$n=k+1$のときにも成り立つ」の文章だから、

解答ク：０

以上より、$a_{n}=4n$である。
この数列の初項から第$n$項までの和$S_{n}$は、
等差数列の和の公式から、
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n})$
としてもよいし、
Σを使って
$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}4k$
としてもよい。
どちらの方法をとっても手間はほとんど変わらず、
$S_{n}=2n^{2}+2n$③
となる。

解答ケ：２, コ：２

④と①を辺々引いて、
$-)\displaystyle $$b_{n+1}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)b_{n}+3n+3$
$\underline{-)a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)a_{n}+3n+3}$
$b_{n+1}-a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)(b_{n}-a_{n})$式Ａ

ここで、
$c_{n}=\displaystyle \frac{b_{n}-a_{n}}{n}$⑤
とおくので、
$\left\{\begin{array}{l}
b_{n}-a_{n}=nc_{n}\\
b_{n+1}-a_{n+1}=(n+1)c_{n+1}
\end{array}\right.$

これを式Ａに代入して、
$(n+1)c_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)nc_{n}$
$(n+1)c_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot nc_{n}$
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{4}c_{n}$
となるので、$\{c_{n}\}$は、
初項$b_{1}-a_{1}=7-4=3$
公比$\displaystyle \frac{1}{4}$
の等比数列である。

解答サ：３, シ：１, ス：４

一般項は、
$c_{n}=3\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
$c_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{4^{n-1}}$式Ｂ
となる。

解答セ：３, ソ：４, タ：１

以上から$b_{n}$を求めると、問題文のマスから
$b_{n}=4n+\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}$
となる。

ちゃんと計算すると、
⑤に②・式Ｂを代入して、
$\displaystyle \frac{3}{4^{n-1}}=\frac{b_{n}-4n}{n}$
両辺に$n$をかけて、
$b_{n}-4n=\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}$
$-4n$を移項して、
$b_{n}=4n+\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}$
である。

次は$\{b_{n}\}$の和と見せかけて、それはただの前フリで、実は違うものを求める問題。

$U_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kc_{k}$とおき、$U_{n}$を求める。
式Ｂを$U_{n}$の式に代入して、
$U_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\frac{3}{4^{k-1}}$
$U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}3k\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}$
だけど、こんなΣの公式はない。

見にくいので、$\displaystyle \frac{1}{4}=r$として書く。
$U_{n}=3r^{0}+6r^{1}+9r^{2}+$
       $\cdots+3(n-1)\cdot r^{n-2}+3n\cdot r^{n-1}$式Ｃ
どこかで見た形になった。（等差数列×等比数列）の和の問題だ。
なので、お約束の解き方をしよう。

式Ｃの両辺に$r$をかけて、
$rU_{n}=3\cdot r^{1}+6\cdot r^{2}+9\cdot r^{3}+$
       $\cdots+3(n-1)r^{n-1}+3n\cdot r^{n}$式Ｃ'

式Ｃから式Ｃ'を辺々引いて、
$U_{n}-rU_{n}=3\cdot r^{0}+(6-3)\cdot r^{1}+(9-6)\cdot r^{2}+$
              $\cdots+\{3n-3(n-1)\}\cdot r^{n-1}-3n\cdot r^{n}$
$U_{n}-rU_{n}$$=\underline{3+3r+3r^{2}+\cdots+3r^{n-1}}-3n\cdot r^{n}$
下線部は、一般項$3r^{n-1}$、項数$n$の等比数列なので、
$U_{n}-rU_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3r^{k-1}-3n\cdot r^{n}$
$r$をもとにもどして、
$U_{n}-\displaystyle \frac{1}{4}U_{n}=\sum_{k=1}^{n}3\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}-3n\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
問題文のマスに合う形になおして、
$U_{n}-\displaystyle \frac{1}{4}U_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{4^{k-1}}-\frac{3n}{4^{n}}$式Ｄ

解答チ：３, ツ：３

Σの公式から、式Ｄはさらに、
$U_{n}-\displaystyle \frac{1}{4}U_{n}=3\cdot\frac{1-\frac{1}{4^{n}}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{3n}{4^{n}}$
$\displaystyle \left(1-\frac{1}{4}\right)U_{n}=3\cdot\frac{1-\frac{1}{4^{n}}}{\frac{3}{4}}-\frac{3n}{4^{n}}$
$\displaystyle \frac{3}{4}U_{n}=3\cdot\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)\cdot\frac{4}{3}-\frac{3n}{4^{n}}$
$U_{n}=3\displaystyle \cdot\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)\cdot\frac{4^{2}}{3^{2}}-\frac{3n}{4^{n}}\cdot\frac{4}{3}$
$U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{2}}{3}-\frac{4^{2}}{3\cdot 4^{n}}-\frac{3n\cdot 4}{3\cdot 4^{n}}$
$U_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{16}{3}-\frac{3n+4}{3\cdot 4^{n-1}}$
となる。

解答テ：１, ト：６, ナ：３, ニ：３, ヌ：４, ネ：４