188
データの代表値

$19.0$を仮平均とすると、
$\displaystyle \frac{1}{10}(-1-2-1.5+1+0.5+0-1+0.5+1.5+2)$
$=0$
よって、平均値は
$19.00$
である。

解答ア：１, イ：９, ウ：０, エ：０

次はガソリン消費量の分散$s_{y}^{2}$だ。

復習

分散$s^{2}$は、
データの大きさを$n$
それぞれのデータを$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \ldots\ x_{n}$
平均値を$\overline{x}$
としたとき、
$s^{2}=\displaystyle \frac{1}{n}\left\{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}+\right.$
                       $\left.\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\right\}$式Ａ
$s^{2}$$=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}$式Ｂ
だった。

193
分散と標準偏差

今回は定義通り計算する方が楽そうなので、式Ａを使おう。
問題文中の表の値を式Ａに代入すると、
$s_{y}^{2}=\displaystyle \frac{1}{10}\{(-0.1)^{2}+(-0.2)^{2}+\cdots+0^{2}\}$

これは
$s_{y}^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{10}\left\{\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{10}\right)^{2}+\cdots+\left(\frac{0}{10}\right)^{2}\right\}$
とかけるから、$\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$を共通因数として$\{\ \}$の前に出して、
$s_{y}^{2}$$=\left(\frac{1}{10}\right)^{3}\{(-1)^{2}+(-2)^{2}+\cdots+0^{2}\}$
$s_{y}^{2}$$=0.036$
である。

解答オ：０, カ：０, キ：３, ク：６

復習

中央値は、データを小さい順（大きい順でもいいけど）に並べたとき、
データが奇数個のときには、ちょうど真ん中にある数 データが偶数個のときには、中央２つの数の平均 だった。

ガソリン消費量のデータを小さい順に並べると、
$1.0,\ 1.1,\ 1.2,\ 1.2,\ 1.3,\ 1.3,\ 1.3,\ 1.4,\ 1.5,\ 1.7$
データが偶数個なので、ガソリン消費量の中央値は５番目と６番目の数の平均だけど、両方とも$1.30$なので、
$1.30$

解答ケ：１, コ：３, サ：０

まず、４つの相関図で、違っているところを見つよう。

図Ｂ

199
相関関係

図Ｂで、４つの相関図で共通する点は黒で、異なる点は赤で示した。だから、赤い点だけ確認しよう。

まず、０・２にあって１・３にない$(x,y)=(18,1.0)$の点（青い矢印の点）だけど、問題文中の表を見ると４月27日のデータとして存在する。なので、１・３は除外。
次に、$x=19$の点（緑の矢印の点）は、０では$y=1.2$、２では$y=1.5$となっている。問題文中の表を見ると、$x=19$であるのは４月26日のデータで、$y=1.5$となっている。なので、０は除外。
以上より、当てはまるものは２である。

解答シ：２

次に、走行距離とガソリン消費量の相関係数を求める。

復習

相関係数
まず、共分散を$s_{xy}$とすると、
$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})$＋
                 $\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\}$式Ｃ
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}-\overline{x}\cdot\overline{y}$式Ｄ
この共分散$s_{xy}$を、$x,\ y$それぞれの標準偏差の積で割った、
$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$
が相関係数だった。

199
相関係数

ということで、共分散を求める。
今回は式Ｄよりも式Ｃの方が計算が楽そうだ。
なので、まず走行距離の偏差（$x_{n}-\overline{x}$）と消費量の偏差（$y_{n}-\overline{y}$）の積を計算して、問題文中の表に書きたしたものが表Ｃである。

表Ｃ

日付	走行距離 (km)		消費量 (リットル)		偏差の積
	値 $x_{n}$	偏差 $x_{n}-\overline{x}$	値 $y_{n}$	偏差 $y_{n}-\overline{y}$	$(x_{n}-\overline{x})$ $\cdot(y_{n}-\overline{y})$
4月21日	18.0	-1.0	1.2	-0.1	0.10
4月22日	17.0	-2.0	1.1	-0.2	0.40
4月23日	17.5	-1.5	1.4	0.1	-0.15
4月24日	20.0	1.0	1.3	0.0	0
4月25日	19.5	0.5	1.2	-0.1	-0.05
4月26日	19.0	0.0	1.5	0.2	0
4月27日	18.0	-1.0	1.0	-0.3	0.30
4月28日	19.5	0.5	1.3	0.0	0
4月29日	20.5	1.5	1.7	0.4	0.60
4月30日	21.0	2.0	1.3	0.0	0
平均値	19.00		1.30		0.12
分散	1.60		0.036

式Ｃより、偏差の積の平均が相関係数$s_{xy}$なので、
$s_{xy}=0.12$
これを$x,y$の標準偏差で割れば、相関係数である。

復習

標準偏差$s$は、分散を$s^{2}$とすると、
$s=\sqrt{s^{2}}$
だった。

$x,y$の分散は、それぞれ$1.60,\ 0.036$であるから、相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$
$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{0.12}{\sqrt{1.60}\cdot\sqrt{0.036}}$
$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{12}{24}$
$r_{xy}$$=0.5$

解答ス：０, セ：５, ソ：０, タ：０

図Ｂに５月のデータを書き加えた。図Ｄ中、赤い点が５月のデータである。

図Ｄより、点は左下から右上に連なる傾向が見える。
よって、走行距離と消費量は正の相関が考えられるから、$0 \lt r \lt 1$

解答チ：４

16日間の走行距離の平均値$M$は、
(16日間の走行距離の合計)$\div 16$
ここで、
４月の10日間の合計$=$４月の平均$\times 10$
５月の６日間の合計$=$５月の平均$\times 6$
なので、
$M=\displaystyle \frac{19.00\times 10+23.00\times 6}{16}$
$M$$=20.50$

解答ツ：２, テ：０, ト：５, ナ：０

問題文中の
$T=(x_{1}-M)^{2}+(x_{2}-M)^{2}+\cdots+(x_{10}-M)^{2}$
に、
$(x_{k}-M)^{2}=(x_{k}-m)^{2}$
                 $+2(x_{k}-m)(m-M)$
                   $+(m-M)^{2}$
を代入すると、
$T=(x_{1}-m)^{2}+(x_{2}-m)^{2}+\cdots+(x_{10}-m)^{2}$
       $+2(m-M)\{(x_{1}-m)+(x_{2}-m)+$
                   $\cdots+(x_{n}-m)\}$
         $+10(m-M)^{2}$式Ｅ
ここで、分散の定義を思いだすと、式Ｃより、
$(x_{1}-m)^{2}+(x_{2}-m)^{2}+\cdots+(x_{10}-m)^{2}=10s^{2}$
また、偏差の和は$0$なので、
$(x_{1}-m)+(x_{2}-m)+\cdots+(x_{n}-m)=0$
よって、式Ｅは、
$T=10s^{2}+10(m-M)^{2}$
となる。

解答ニ：０

これに
$M=20.50$ $m=19.00$ $s^{2}=1.60$ を代入すると、
$T=10\cdot 1.6+10(19-20.5)^{2}$
$T$$=38.50$
となる。

解答ヌ：３, ネ：８, ノ：５, ハ：０

$T$の意味を考えると、
$(x_{k}-M)^{2}$は走行距離の偏差の２乗なので、
４月の10日間の走行距離の偏差の2乗の合計である。
分散とは偏差の2乗の平均なので、$T$に５月の６日間の偏差の２乗をたして、16で割れば、16日間の分散だ。

５月の６日間の偏差の２乗の和$T_{6}$は、$T$と同様計算しよう。

６日間の分散を$s_{6}^{2}$、平均値を$m_{6}$とすると、
$T_{6}=6s_{6}^{2}+6(m_{6}-M)^{2}$

これに
$M=20.50$ $m_{6}=23.00$ $s_{6}^{2}=6.00$ を代入すると、
$T_{6}=6\times 6+6(23-20.5)^{2}$
$T_{6}$$=73.5$

以上より、16日間の分散$s_{16}^{2}$は、
$s_{16}^{2}=\displaystyle \frac{38.5+73.5}{16}$
$s_{16}^{2}$$=7$

解答ヒ：７, フ：０, ヘ：０

アドバイス

16日間の分散の計算には、16日間の平均値を使う。
問題文中の２つの表に載っている分散は、それぞれ４月の10日間の平均値・５月の６日間の平均値を使って求めた分散なので、そのままでは使えない。だから、$T$のような式を作って変換した。