95-96
２次関数の決定

①が$(-1,4),(2,7)$を通るので、

$(x,y)$に$(-1,4)$を代入して、
$a(-1)^{2}+b(-1)+c=4$
$a-b+c=4$式Ａ

$(x,y)$に$(2,7)$を代入して、
$a\cdot 2^{2}+b\cdot 2+c=7$
$4a+2b+c=7$式Ｂ

式Ｂ-式Ａより、
$-)$$ 4a+2b+c=7$
$\underline{-)\ a-b+c=4}$
$-)$$ 3a+3b=3$
$a+b=1$
$b=-a+1$式Ｃ

解答ア：－, イ：１

式Ｃを式Ａに代入して、
$a-(-a+1)+c=4$
$2a+c=5$
$c=-2a+5$式Ｄ

解答ウ：－, エ：２, オ：５

式Ｃ・Ｄを①に代入して、
$y=ax^{2}+(-a+1)x-2a+5$①'

75
２次関数のグラフ(平方完成)

①'から頂点を出すのだけれど、 解法１
素直に平方完成をする 解法２
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$で頂点の$x$座標を求め、それを①'に代入して$y$座標を求める 方法が考えられる。2次関数の式がややこしいときは解法２が楽なことが多いけど、今回は解法１も２も手間は同じかも。

77
グラフの平行移動(1)

$a=2$のとき、①の頂点は
$\left(\frac{a-1}{2a},\ \frac{-9a^{2}+22a-1}{4a}\right)$
に$a=2$を代入して、
$\left(\frac{2-1}{2\cdot 2},\ \frac{-9\cdot 2^{2}+22\cdot 2-1}{4\cdot 2}\right)$
$=\left(\frac{1}{4},\ \frac{4(-9+11)-1}{8}\right)$
$=\left(\frac{1}{4},\ \frac{7}{8}\right)$

$y=2x^{2}$のグラフの頂点は、$(0,0)$

$\left(\frac{1}{4},\ \frac{7}{8}\right)$を$(0,0)$に平行移動するので、
$x$軸方向に$-\displaystyle \frac{1}{4}$
$y$軸方向に$-\displaystyle \frac{7}{8}$
移動すればよい。

解答セ：－, ソ：１, タ：４, チ：－, ツ：７, テ：８

85
２次関数の最大・最小

$0 \lt a$なので、グラフが最小となるのは頂点。よって、頂点の$y$座標が$0$になるときの$a$を求める。

$\displaystyle \frac{-9a^{2}+22a-1}{4a}=0$
より、
$-9a^{2}+22a-1=0$
$9a^{2}-22a+1=0$

104
２次方程式の解の公式

解の公式より
$a=\displaystyle \frac{22\pm\sqrt{22^{2}-4\cdot 9\cdot 1}}{2\cdot 9}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{22\pm\sqrt{2^{2}\cdot 11^{2}-2^{2}\cdot 3^{2}}}{2\cdot 9}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{22\pm 2\sqrt{11^{2}-3^{2}}}{2\cdot 9}$
√の中は$A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$の形なので、
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{22\pm 2\sqrt{(11+3)(11-3)}}{2\cdot 9}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{22\pm 2\sqrt{14\cdot 8}}{2\cdot 9}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{22\pm 2\sqrt{7\cdot 2\cdot 2^{3}}}{2\cdot 9}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{22\pm 2\cdot 2^{2}\sqrt{7}}{2\cdot 9}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{11\pm 2^{2}\sqrt{7}}{9}$
である。

解答ナ：１, ニ：１, ヌ：４, ネ：７, ノ：９

88
文字係数の２次関数の最大・最小

最後は$1\leqq x\leqq 2$における最小値の問題。
放物線の軸は$x=\displaystyle \frac{a-1}{2a}$なので、頂点が動くタイプの２次関数の最大最小の問題である。

まず、場合分け。
下に凸のグラフの最小を聞かれているので、図Ａ・Ｂ・Ｃの３通りに場合分けをしよう。

図Ａになるのは、
$\displaystyle \frac{a-1}{2a} \lt 1$

47
文字係数の方程式・不等式

$a$は正の数なので、両辺に$2a$をかけても不等号の向きは変わらないから、
$a-1 \lt 2a$
$-1 \lt a$式Ｅ
$a$は正なので、$0 \lt a$と式Ｅの重なる範囲は、
$0 \lt a$のとき。
あれ？
ということは、図Ｂ・図Ｃになることはないのかな？

図Ｂ・図Ｃになるためには、軸が$1$より右にないといけない。
よって、
$1 \lt \displaystyle \frac{a-1}{2a}$
$0 \lt a$でこれを解くと、式Ｅの逆の、
$a \lt -1$
になるので、あてはまる$a$は存在しない。
なので、図Ｂ・図Ｃにはならない。

以上より、図Ａの場合だけを考えよう。
図Ａの場合、最小値をとるのは$x=1$のとき。
このときの最小値が$0$になるような$a$の値を求める。

①'に$(x,y)=(1,0)$を代入して、
$a\cdot 1^{2}+(-a+1)\cdot 1-2a+5=0$
$a-a+1-2a+5=0$
$2a=6$
$a=3$
である。

解答ハ：３