247
真数条件

真数条件より、
$\left\{\begin{array}{l}
0 \lt 3-\sqrt{x}\\
0\leqq x
\end{array}\right.$
上の式は、さらに
$\sqrt{x} \lt 3$

33
平方根

$0\leqq\sqrt{x}$なので、両辺を２乗して、
$x \lt 9$
46
連立不等式の
解法(１次) よって、
$0\leqq x \lt 9$②

解答ア：９

次に問題文は
$y=\log_{\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x})^{2}$式Ａ
とおけという。先が見えないので、問題の流れに乗ってゆこう。

247
指数と対数の
関係

式Ａを変形して、
$\left(\frac{1}{8}\right)^{y}=(3-\sqrt{x})^{2}$

238
指数法則

両辺を$\log_{2}$に入れて、
$\log_{2}\left(\frac{1}{8}\right)^{y}=\log_{2}(3-\sqrt{x})^{2}$
$\log_{2}\left(2^{-3}\right)^{y}=\log_{2}(3-\sqrt{x})^{2}$
$\log_{2}2^{-3y}=\log_{2}(3-\sqrt{x})^{2}$

247
対数の性質

$-3y\log_{2}2=2\log_{2}(3-\sqrt{x})$
$-3y\cdot 1=2\log_{2}(3-\sqrt{x})$
$y=-\displaystyle \frac{2}{3}\log_{2}(3-\sqrt{x})$

解答イ：２, ウ：３

となるので、
$\displaystyle \log_{\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x})^{2}=-\frac{2}{3}\log_{2}(3-\sqrt{x})$式Ａ'
である。
なるほど。底の変換がしたかったのね。
で、
$X=\log_{2}(3-\sqrt{x})$式Ｂ
とおくと、式Ａ'は、
$\displaystyle \log_{\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x})^{2}=-\frac{2}{3}X$式Ａ''

式Ａ''・Ｂを①に代入して、
$4X^{2}+3\cdot\left(-\frac{2}{3}X\right)-2 \gt 0$
$4X^{2}-2X-2 \gt 0$
$2X^{2}-X-1 \gt 0$③

解答エ：２

121
２次不等式の解法(1)

これを解いて、
$(2X+1)(x-1) \gt 0$
より、
$X \lt -\displaystyle \frac{1}{2},\ 1 \lt X$

解答オ：２, カ：１

これに式Ｂを代入して、
$\displaystyle \log_{2}(3-\sqrt{x}) \lt -\frac{1}{2},\ 1 \lt \log_{2}(3-\sqrt{x})$式Ｃ

258
対数不等式

式Ｃの左の式は、
右辺に$1$（$=\log_{2}2$）をかけて、
$\displaystyle \log_{2}(3-\sqrt{x}) \lt -\frac{1}{2}\log_{2}2$
$\log_{2}(3-\sqrt{x}) \lt \log_{2}2^{-\frac{1}{2}}$
底は$1$より大きいので、
$3-\sqrt{x} \lt 2^{-\frac{1}{2}}$
$3-\displaystyle \sqrt{x}$$\displaystyle \lt \frac{1}{\sqrt{2}}$
$3-\displaystyle \sqrt{x}$$\displaystyle \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$

解答キ：２, ク：２

式Ｃの右の式は、
$1=\log_{2}2$なので、
$\log_{2}2 \lt \log_{2}(3-\sqrt{x})$
底は$1$より大きいので、
$2 \lt 3-\sqrt{x}$

解答ケ：２

より、
$3-\displaystyle \sqrt{x} \lt \frac{\sqrt{2}}{2},\ 2 \lt 3-\sqrt{x}$④
となる。

④はさらに
$3-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \lt \sqrt{x},\ \sqrt{x} \lt 1$
すべての辺は正なので、２乗して、
$\left(3-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} \lt x.\ x \lt 1$
$\displaystyle \frac{19}{2}-3\sqrt{2} \lt x,\ x \lt 1$④'

②,④'から数直線を描くと、

となるので、求める$x$の範囲は
$0\displaystyle \leqq x \lt 1,\ \frac{19}{2}-3\sqrt{2} \lt x \lt 9$
である。

解答コ：１, サ：１, シ：９, ス：２, セ：３