大学入試センター試験 2014年(平成26年) 追試 数学ⅠA 第3問 解説

ア~ク

図A
大学入試センター試験2014年追試 数学ⅠA第3問 解説図A

図Aで、まず$\sin\angle \mathrm{DBE}$を求める。 解法1
$\triangle \mathrm{DBE}$で余弦定理により$\cos\angle \mathrm{DBE}$を求め、$\sin\angle \mathrm{DBE}$を出す。
解法2
$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を出し、$S=\dfrac{1}{2}ac\sin \mathrm{B}$から$\sin\angle \mathrm{DBE}$を求める。おすすめ
などが考えられる。

解法1

160
余弦定理

$\triangle \mathrm{DBE}$で、余弦定理より、
$\begin{aligned}\mathrm{DE}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+&\mathrm{BE}^{2}\\& -2\cdot \mathrm{BD}\cdot \mathrm{BE}\cdot\cos\angle \mathrm{DBE}\end{aligned}$
$5^{2}=4^{2}+6^{2}-2\cdot 4\cdot 6\cdot\cos\angle \mathrm{DBE}$
$$ \begin{align} \cos\angle \mathrm{DBE}&=\dfrac{4^{2}+6^{2}-5^{2}}{2\cdot 4\cdot 6}\\ &=\dfrac{27}{2\cdot 4\cdot 6}\\ &=\dfrac{9}{2\cdot 4\cdot 2}\\ &=\dfrac{9}{16} \end{align} $$

142
三角比の相互関係(1)

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$より、
$\sin^{2}\angle \mathrm{DBE}+\left(\dfrac{9}{16}\right)^{2}=1$
$$ \begin{align} \sin^{2}\angle \mathrm{DBE}&=1-\left(\dfrac{9}{16}\right)^{2}\\ &=\dfrac{16^{2}-9^{2}}{16^{2}}\\ &=\dfrac{(16+9)(16-9)}{16^{2}}\\ &=\dfrac{25\cdot 7}{16^{2}} \end{align} $$

$0 \lt \sin\angle \mathrm{DBE}$なので、
$\sin\angle \mathrm{DBE}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$

解答ア:5, イ:7, ウ:1, エ:6

174
三角形の面積

$\triangle \mathrm{DBE}$の面積$S$は、$S=\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{DB}\cdot \mathrm{BE}\cdot\sin\angle \mathrm{DBE}$なので、
$$ \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\dfrac{5\sqrt{7}}{16}\\ &=\dfrac{15\sqrt{7}}{4} \end{align} $$ である。

解答オ:1, カ:5, キ:7, ク:4

解法2

174
三角形の面積

$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は、
$$ \begin{align} s&=\dfrac{8+12+10}{2}\\ &=15 \end{align} $$ とすると、ヘロンの公式より
$S=\sqrt{s(s-8)(s-12)(s-10)}$

途中式 $$ \begin{align} \phantom{S}&=\sqrt{15(15-8)(15-12)(15-10)}\\ &=\sqrt{15\cdot 7\cdot 3\cdot 5}\\ &=\sqrt{15^{2}\cdot 7} \end{align} $$
$\phantom{S}=15\sqrt{7}$

同じ三角形の面積$S$は$S=\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot\sin\angle \mathrm{DBE}$なので、
$\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot\sin\angle \mathrm{DBE}=15\sqrt{7}$
$4\cdot 4\cdot\sin\angle \mathrm{DBE}=5\sqrt{7}$
$\sin\angle \mathrm{DBE}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$

解答ア:5, イ:7, ウ:1, エ:6

アドバイス

△DBEを使って同じことをしてもいいけど、△DBEは3辺の長さの和が奇数なので、$s$が分数になる。それを避けるために、ここでは△ABCを使った。

$\triangle \mathrm{DBE}$ の面積は、$S=\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{DB}\cdot \mathrm{BE}\cdot\sin\angle \mathrm{DBE}$
を使ってもいいけど、せっかく$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が分かっているから、それを使おう。


三角形の面積比(相似)

$\triangle \mathrm{ABC}$ ∽ $\triangle \mathrm{DBE}$ で、相似比は$2:1$
面積比は相似比の2乗なので、$4:1$
よって、
$$ \begin{align} \triangle \mathrm{DBE}&=\dfrac{\triangle \mathrm{ABC}}{4}\\ &=\dfrac{15\sqrt{7}}{4} \end{align} $$ である。

解答オ:1, カ:5, キ:7, ク:4

(1)

図B
大学入試センター試験2014年追試 数学ⅠA第3問 解説図B

図Bで、円Iの半径を求める。

復習

内接円の半径を求める式はひとつしかなくて、三角形の面積を$S$、内接円の半径を$r$としたとき、
$S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$
だった。

これを使う。

△DBEの面積は$\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$なので、
$\dfrac{1}{2}r(\mathrm{DB}+\mathrm{BE}+\mathrm{ED})=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$
$\dfrac{1}{2}r(4+6+5)=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$
$\dfrac{1}{2}\cdot 15r=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$
$r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
である。

解答ケ:7, コ:2

317
三角形と内接円

次は、三角形の内接円との接点と、頂点までの距離の問題。お決まりの解き方である。
内接円と三角形の残りの接点をM, Nとすると、
$\mathrm{BL}=\mathrm{BM},\ \mathrm{DM}=\mathrm{DN},\ \mathrm{EL}=\mathrm{EN}$
なので、
$\mathrm{BL}=\mathrm{BM}=x$
とおくと、
$\mathrm{DM}=\mathrm{DN}=4-x$
$\mathrm{EL}=\mathrm{EN}=6-\mathrm{x}$

また、
$\mathrm{DE}=\mathrm{DN}+\mathrm{EN}$
なので、
$(4-x)+(6-x)=5$
$2x=5$
$x=\dfrac{5}{2}$
である。

解答サ:5, シ:2

BIは、△BILで三平方の定理を使おう。
$\mathrm{BI}^{2}=\mathrm{IL}^{2}+\mathrm{BL}^{2}$
$\mathrm{IL}$は内接円の半径なので、
$$ \begin{align} \mathrm{BI}^{2}&=\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}\\ &=\dfrac{\sqrt{7}^{2}+5^{2}}{2^{2}}\\ &=\dfrac{32}{2^{2}}\\ &=8 \end{align} $$ $0 \lt \mathrm{BI}$なので、
$\mathrm{BI}=2\sqrt{2}$
である。

解答ス:2, セ:2

(2)

図C
大学入試センター試験2014年追試 数学ⅠA第3問 解説図C

EXは、を求めた方法と同じように解こう。

図Cで、
$\mathrm{EX}=\mathrm{EY},\ \mathrm{DY}=\mathrm{DZ},\ \mathrm{BX}=\mathrm{BZ}$
なので、
$\mathrm{EX}=\mathrm{EY}=y$
とおくと、
$\mathrm{BX}=6+y$

また、
$\mathrm{DY}=\mathrm{DZ}=5-y$
なので、
$\mathrm{BZ}=4+(5-\mathrm{y})$
ここで、$\mathrm{BX}=\mathrm{BZ}$なので、
$6+y=4+(5-y)$
$2y=3$
$y=\dfrac{3}{2}$
となる。

解答ソ:3, タ:2

また、$\triangle \mathrm{JZB} \equiv \triangle \mathrm{JXB}$なので、
$\angle \mathrm{JBE}=\dfrac{1}{2}\angle \mathrm{DBE}$

解答チ:1, ツ:2

同様に、
$\angle \mathrm{IBE}=\dfrac{1}{2}\angle \mathrm{DBE}$

解答テ:1, ト:2

以上より$\triangle \mathrm{BIL}$ ∽ $\triangle \mathrm{BJX}$ で、相似比は
$$ \begin{align} \mathrm{BL}:\mathrm{BX}&=\dfrac{5}{2}:6+\dfrac{3}{2}\\ &=\dfrac{5}{2}:\dfrac{15}{2}\\ &=1:3 \end{align} $$ よって、
$$ \begin{align} \mathrm{BJ}&=3\mathrm{BI}\\ &=3\cdot 2\sqrt{2}\\ &=6\sqrt{2} \end{align} $$ である。

解答ナ:6, ニ:2

(3)

図D
大学入試センター試験2014年追試 数学ⅠA第3問 解説図D

急に立体の問題になって、イメージがつかみにくいけど、やってることはたいしたことじゃない。
図Dで、緑の平面が垂直な平面。
図中、$\triangle \mathrm{OKI}$は直角三角形なので、三平方の定理を使って$\mathrm{KI}$を求めよう。

OKは円Oの半径なので、$\dfrac{\mathrm{BJ}}{2}$だから、
$$ \begin{align} \mathrm{OK}&=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}\\ &=3\sqrt{2} \end{align} $$

$\mathrm{OI}=\text{円}\mathrm{O}\text{の半径}-\mathrm{BI}$ なので、
$$ \begin{align} \mathrm{OI}&=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\ &=\sqrt{2} \end{align} $$

三平方の定理より、
$$ \begin{align} \mathrm{KI}^{2}&=\mathrm{OK}^{2}-\mathrm{OI}^{2}\\ &=(3\sqrt{2})^{2}-\sqrt{2}^{2}\\ &=16 \end{align} $$ $0 \lt \mathrm{KI}$なので、
$\mathrm{KI}=4$

解答ヌ:4

これが三角錐KBDEの高さ。
オカより、底面積は$\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$なので、
三角錐の体積$V$は、
$$ \begin{align} V&=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{15\sqrt{7}}{4}\cdot 4\\ &=5\sqrt{7} \end{align} $$ となる。

解答ネ:5, ノ:7