復習

倍角公式は、
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
$\cos 2\theta$$=2\cos^{2}\theta-1$
$\cos 2\theta$$=1-2\sin^{2}\theta$
$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$
だった。

よって、
$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{\sin 2\theta}{2}$
$\displaystyle \cos^{2}\theta=\frac{\cos 2\theta+1}{2}$

これを
$ f(\theta)=8\sin\theta\cos\theta+6\cos^{2}\theta$
に代入して、
$f(\theta)=8\left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)+6\left(\frac{\cos 2\theta+1}{2}\right)$
$f(\theta)$$=4\sin 2\theta+3(\cos 2\theta+1)$

解答ソ：４, タ：３

これをさらに変形して、
$f(\theta)=4\sin 2\theta+3\cos 2\theta+3$
三角関数の合成をすると、
$f(\theta)=5\sin(2\theta+\alpha)+3$⑤

解答チ：５

ただし、$\alpha$は
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5},\ \cos\alpha=\frac{4}{5}$ となる角。

解答ツ：３, テ：４

ここで、
$0\displaystyle \leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}$
なので、
$\alpha\leqq 2\theta+\alpha\leqq\pi+\alpha$
この範囲を単位円に書き込むと、図Ａのようになる。

図Ａより、$\sin(2\theta+\alpha)$は、
$2\displaystyle \theta+\alpha=\frac{\pi}{2}$のとき（図Ａの赤い点）
つまり、
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$
のとき、
最大値$1$

解答ト：２

$ 2\theta+\alpha=\pi+\alpha$のとき（図Ａの青い点）
つまり
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$
のとき、
最小値$-\displaystyle \frac{3}{5}$
である。

解答ナ：５, ニ：３, ヌ：５

以上より、
$-\displaystyle \frac{3}{5}\leqq\sin(2\theta+\alpha)\leqq 1$
各辺５倍して、
$-3\leqq 5\sin(2\theta+\alpha)\leqq 5$
各辺に$3$をたして、
$0\leqq 5\sin(2\theta+\alpha)+3\leqq 8$
⑤より$5\sin(2\theta+\alpha)+3=f(\theta)$なので、
$0\leqq f(\theta)\leqq 8$
である。

解答ネ：０, ノ：８

$f(\theta)=6$なので、⑤より、
$5\sin(2\theta+\alpha)+3=6$
$5\sin(2\theta+\alpha)=3$
$\displaystyle \sin(2\theta+\alpha)=\frac{3}{5}$式Ａ

解答ハ：３, ヒ：５

アドバイス

ここから、問題文の流れでは計算のみで式Ａを解いている。そのため、
$\sin(\pi-x)=\sin x$

解答フ：２

のような話が出てきているが、私としては単位円のグラフで解く方がおすすめ。

式Ａの方程式をグラフで解く。

$\sin$は$y$座標なので、図Ａに$y=\displaystyle \frac{3}{5}$の線を書き込んだのが、図Ｂ。

図Ｂより、$y=\displaystyle \frac{3}{5}$の線と、単位円の緑の範囲の重なる部分(図中の赤い点の部分)が答。
なので、式Ａの方程式の答は、
$ 2\theta+\alpha=\alpha$ と $ 2\theta+\alpha=\pi-\alpha$
両辺から$\alpha$を引いて、
$2\theta=0$ と $ 2\theta=\pi-2\alpha$
両辺を２で割って、
$\theta=0$ と $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}-\alpha$
である。

解答ヘ：０, ホ：２ （順不同）