大学入試センター試験 2017年(平成29年) 本試 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説
解説
$\left(x+\frac{2}{x}\right)^{2}$を展開すると、
$\displaystyle \left(x+\frac{2}{x}\right)^{2}=x^{2}+4+\frac{4}{x^{2}}$式Ａ
となる。
ここで、問題文より
$x^{2}+\displaystyle \frac{4}{x^{2}}=9$式Ｂ
だから、
$x^{2}+4+\displaystyle \frac{4}{x^{2}}=13$
である。
なので、式Ａは、
$\left(x+\frac{2}{x}\right)^{2}=13$式Ｃ
となる。
解答ア：１, イ：３
別解
今回は上の解説のように展開した方が早いけど、せっかくだから式の値を求めるときによく使う変形の復習をしておこう。
復習
$A^{2}+B^{2}=(A+B)^{2}-2AB$式Ｄ
$A^{2}+B^{2}$$=(A-B)^{2}+2AB$
$A^{3}+B^{3}=(A+B)^{3}-3AB(A+B)$式Ｅ
$A^{3}-B^{3}=(A-B)^{3}+3AB(A-B)$
$x^{2}+\displaystyle \frac{4}{x^{2}}=x^{2}+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}$
だから、式Ｄより、
$x^{2}+\displaystyle \frac{4}{x^{2}}=\left(x+\frac{2}{x}\right)^{2}-2x\cdot\frac{2}{x}$
なので、
$9=\left(x+\frac{2}{x}\right)^{2}-4$
$\left(x+\frac{2}{x}\right)^{2}=13$式Ｃ
となる。
解答ア：１, イ：３
ここで、$x$は正の実数だから、
$0 \lt x+\displaystyle \frac{2}{x}$
と言える。
よって、式Ｃより
$x+\displaystyle \frac{2}{x}=\sqrt{13}$式Ｆ
である。
$x^{3}+\displaystyle \frac{8}{x^{3}}=x^{3}+\left(\frac{2}{x}\right)^{3}$
なので、$A^{3}+B^{3}$の値を求める問題。
上の復習の式Ｅを使ってもいいんだけど、問題文は因数分解しているから、それに合わせないといけない。
で、念のために３乗の因数分解の公式の復習だ。
公式
$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$
なので、問題文の式は、
$x^{3}+\displaystyle \frac{8}{x^{3}}=\left(x+\frac{2}{x}\right)\left\{x^{2}-x\cdot\frac{2}{x}+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}\right\}$
$x^{3}+\displaystyle \frac{8}{x^{3}}$$\displaystyle =\left(x+\frac{2}{x}\right)\left(x^{2}+\frac{4}{x^{2}}-2\right)$
と変形できる。
解答ウ２
これに式Ｂ，式Ｆを代入して、
$x^{3}+\displaystyle \frac{8}{x^{3}}=\sqrt{13}\times(9-2)$
$=7\sqrt{13}$
となる。
解答エ：７, オ：１, カ：３
$x^{4}+\displaystyle \frac{16}{x^{4}}=\left(x^{2}\right)^{2}+\left(\frac{4}{x^{2}}\right)^{2}$
なので、復習の式Ｄより、
$x^{4}+\displaystyle \frac{16}{x^{4}}=\left(x^{2}+\frac{4}{x^{2}}\right)^{2}-2x^{2}\cdot\frac{4}{x^{2}}$
$x^{4}+\displaystyle \frac{16}{x^{4}}$$\displaystyle =\left(x^{2}+\frac{4}{x^{2}}\right)^{2}-8$
と変形できる。
これに式Ｂを代入して、
$x^{4}+\displaystyle \frac{16}{x^{4}}=9^{2}-8$
$=73$
である。
解答キ：７, ク：３