$y=x^{2}+1$
を微分すると
$y'=2x$
なので、$(t,t^{2}+1)$における接線の傾きは
$2t$
である。

傾き$2t$の直線が$(t,t^{2}+1)$を通るから、接線の方程式は
$y-(t^{2}+1)=2t(x-t)$
$$ \begin{align} y&=2t(x-t)+(t^{2}+1)\\ &=2tx-2t^{2}+t^{2}+1\\ &=2tx-t^{2}+1\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ となる。

解答ア：２, イ：１

この直線が$(a,2a)$を通るので、式Ａの$x$に$a$，$y$に$2a$を代入して、
$2a=2at-t^{2}+1$
$t^{2}-2at+2a-1=0$式Ｂ
となる。

解答ウ：２, エ：２, オ：１

これを因数分解する。
たすきがけをして、

$t$		$-(2a-1)$	→	$(-2a+1)t$
$t$		$-1$	→	$-t$
				$-2at$

より、式Ｂは
$\{t-(2a-1)\}(t-1)=0$
と書けるので、
$t=2a-1$，$1$
である。

解答カ：２, キ：１, ク：１

以上より、点$\mathrm{P}$から$C$へは、接点の$x$座標が$2a-1$と$1$の２本の接線を引くことができる。
ただし、
$2a-1=1$
つまり
$a=1$
のとき、２つの接点は重なるので、接線は１本しか引けない。

解答ケ：１

$t=2a-1$のとき、式Ａは
$$ \begin{align} y&=2(2a-1)x-(2a-1)^{2}+1\\ &=(4a-2)x-(4a^{2}-4a+1)+1\\ &=(4a-2)x-4a^{2}+4a\class{tex_formula}{①} \end{align} $$ となる。

解答コ：４, サ：２, シ：４, ス：４

また、$t=1$のとき、式Ａは
$$ \begin{align} y&=2x-1+1\\ &=2x \end{align} $$ となる。

解答セ：２

①式の接線と$y$軸の交点の$y$座標$r$は、①に$x=0$を代入して
$r=-4a^{2}+4a$
であり、$0 \lt r$となるのは
$0 \lt -4a^{2}+4a$

途中式

$4a^{2}-4a \lt 0$
$a^{2}-a \lt 0$
$a(a-1) \lt 0$

より、
$0 \lt a \lt 1$
のときである。

解答ソ：０, タ：１

このとき、△$\mathrm{OPR}$（図Ａの赤い三角形）について、
底辺を$\mathrm{OR}$，高さを点$\mathrm{P}$と$y$軸の距離と考えると、面積$S$は、
$$ \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}(-4a^{2}+4a)a\\ &=(-2a^{2}+2a)a\\ &=2(-a^{3}+a^{2})\\ &=2(a^{2}-a^{3})\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ となる。

解答チ：２, ツ：２, テ：３

式Ｃを微分して、
$$ \begin{align} S'&=2(2a-3a^{2})\\ &=2(2a-3a^{2})\\ &=-2a(3a-2) \end{align} $$ より、
$a=0,\dfrac{2}{3}$のとき、$S'=0$である。

式Ｃより
$S=2a^{2}(1-a)$
なので、
$a=0$のとき、
$S=0$
$a=\dfrac{2}{3}$のとき、
$$ \begin{align} S&=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\\ &=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)\\ &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\\ &=\dfrac{8}{27} \end{align} $$

以上より、$0 \lt a \lt 1$の範囲で増減表を書くと、

表Ｂ

$a$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$S'$	$0$	$+$	$0$	$-$
$S$	$0$	$\nearrow$	$\dfrac{8}{27}$	$\searrow$

となる。

増減表より。
$a=\dfrac{2}{3}$
のとき
最大値
$S=\dfrac{8}{27}$
である。

解答ト：２, ナ：３, ニ：８, ヌ：２, ネ：７

次は、図Ｃの赤い部分の面積を求める。
直接求めてもいいんだけど、直線の式が
$y=(4a-2)x-4a^{2}+4a$
で面倒。
なので、ここでは緑で囲んだ面積から青い台形を引く方針で解く。

緑で囲んだ面積は、
$$ \begin{align} \text{緑}&=\int_{0}^{a}x^{2}+1\,dx\\ &=\left[\dfrac{1}{3}x^{3}+x\right]_{0}^{a}\\ &=\dfrac{1}{3}a^{3}+a \end{align} $$ 青い台形は、上底が$2a$，下底が$-4a^{2}+4a$，高さが$a$なので、面積は
$$ \begin{align} \text{青}&=\dfrac{1}{2}\cdot(2a-4a^{2}+4a)\cdot a\\ &=\dfrac{1}{2}(-4a^{2}+6a)a\\ &=-2a^{3}+3a^{2} \end{align} $$ となる。

よって、赤い部分の面積$T$は
$$ \begin{align} T&=\text{緑}-\text{青}\\ &=\left(\dfrac{1}{3}a^{3}+a\right)-\left(-2a^{3}+3a^{2}\right)\\ &=\dfrac{1}{3}a^{3}+2a^{3}-3a^{2}+a\\ &=\dfrac{7}{3}a^{3}-3a^{2}+a \end{align} $$ である。

解答ノ：７, ハ：３, ヒ：３, フ：ａ

これを微分すると
$T'=7a^{2}-6a+1$
なので、$T'=0$のとき、解の公式より
$$ \begin{align} a&=\dfrac{6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 7\cdot 1}}{2\cdot 7}\\ &=\dfrac{6\pm\sqrt{2^{2}(3^{2}-7)}}{2\cdot 7}\\ &=\dfrac{6\pm 2\sqrt{2}}{2\cdot 7}\\ &=\dfrac{3\pm\sqrt{2}}{7} \end{align} $$ である。

$\dfrac{2}{3}\leqq a \lt 1$の範囲での増減が問われているので、この$\dfrac{3\pm\sqrt{2}}{7}$が$\dfrac{2}{3}\leqq a \lt 1$に入るかどうか調べよう。
$\dfrac{3-\sqrt{2}}{7} \lt \dfrac{2}{3}$
は明らかなので、
$\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}$と$\dfrac{2}{3}$の大小を調べる。
$$ \begin{align} \dfrac{3+\sqrt{2}}{7}-\dfrac{2}{3}&=\dfrac{3(3+\sqrt{2})-7\cdot 2}{7\cdot 3}\\ &=\dfrac{9+3\sqrt{2}-14}{7\cdot 3}\\ &=\dfrac{3\sqrt{2}-5}{7\cdot 3}\\ &=\dfrac{\sqrt{18}-\sqrt{25}}{7\cdot 3} \lt 0 \end{align} $$ なので、
$\dfrac{3+\sqrt{2}}{7} \lt \dfrac{2}{3}$
である。

以上より増減表を書くと

表Ｄ

$a$	$\cdots$	$\dfrac{3-\sqrt{2}}{7}$	$\cdots$	$\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}$	$\cdots$	$\dfrac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$T'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$T$	$\nearrow$	極大値	$\searrow$	極小値	$\nearrow$

となる。

増減表より、$\dfrac{2}{3}\leqq a \lt 1$の範囲において、$T$は単調に増加する。

解答ヘ：２