大学入試センター試験 2017年(平成29年) 本試 数学ⅡB 第1問 [2] 解説

解説

真数条件より、$0 \lt $真数なので、
$0 \lt p$,$0 \lt q$
である。

解答タ:0

線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点の座標は、
$\displaystyle \frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{1+2}=\frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}$
$\displaystyle \frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{1+2}$$\displaystyle =\left(\frac{2\cdot 0+p}{3},\frac{2\cdot\frac{3}{2}+\log_{2}p}{3}\right)$
$\displaystyle \frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{1+2}$$\displaystyle =\left(\frac{p}{3},\frac{3+\log_{2}p}{3}\right)$
$\displaystyle \frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{1+2}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{3}p,\frac{1}{3}\log_{2}p+1\right)$
である。

解答チ:1, ツ:3, テ:1, ト:3, ナ:1

これが$(q,\log_{2}q)$と一致するので、
$\displaystyle \frac{1}{3}p=q$ $\displaystyle \frac{1}{3}\log_{2}p+1=\log_{2}q$ である。


⑤式には、$\log$と$\log$じゃない項が混ざっているので、全部$\log$にしよう。
$\log_{2}2=1$なので、⑤式は
$\displaystyle \frac{1}{3}\log_{2}p+\log_{2}2=\log_{2}q$
と書ける。
これを計算して、
$\log_{2}p^{\frac{1}{3}}+\log_{2}2=\log_{2}q$
$\log_{2}2p^{\frac{1}{3}}=\log_{2}q$
$2p^{\frac{1}{3}}=q$
$p^{\frac{1}{3}}=\displaystyle \frac{1}{2}q$
両辺を3乗して、
$p=\displaystyle \frac{1}{8}q^{3}$
となる。

解答ニ:1, ヌ:8, ネ:3

⑥式を④式に代入して、
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}q^{3}=q$
$q^{3}=24q$
$q^{3}-24q=0$
$q(q^{2}-24)=0$
$q(q-\sqrt{24})(q+\sqrt{24})=0$
より、
$q=0$,$\pm\sqrt{24}$
$q$$=0$,$\pm 2\sqrt{6}$
となるけど、真数条件より$0 \lt q$なので、
$q=2\sqrt{6}$
である。

これを④式に代入して、
$\displaystyle \frac{1}{3}p=2\sqrt{6}$
$p=6\sqrt{6}$
である。

解答ノ:6, ハ:6, ヒ:2, フ:6


$\log_{2}(2\sqrt{6})=\log_{2}\sqrt{2^{2}\cdot 6}$
途中式 $\log_{2}(2\sqrt{6})$$=\log_{2}\sqrt{2^{3}\cdot 3}$
$\log_{2}(2\sqrt{6})$$=\log_{2}(2^{3}\cdot 3)^{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle \log_{2}(2\sqrt{6})$$\displaystyle =\frac{1}{2}\log_{2}(2^{3}\cdot 3)$
$\displaystyle \log_{2}(2\sqrt{6})$$\displaystyle =\frac{1}{2}(\log_{2}2^{3}+\log_{2}3)$
$\displaystyle \log_{2}(2\sqrt{6})$$\displaystyle =\frac{1}{2}(3\log_{2}2+\log_{2}3)$
$\displaystyle \log_{2}(2\sqrt{6})$$\displaystyle =\frac{1}{2}(3+\log_{2}3)$
だけど、問題文中に値が載っているのは底が$10$なので、底を$10$に変換しないといけない。
$\displaystyle \log_{2}(2\sqrt{6})=\frac{1}{2}\left(3+\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\right)$
これに$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$を代入して、
$\displaystyle \log_{2}(2\sqrt{6})=\frac{1}{2}\left(3+\frac{0.4771}{0.3010}\right)$
$\displaystyle \log_{2}(2\sqrt{6})$$\displaystyle =\frac{3}{2}+\frac{0.4771}{2\times 0.3010}$
$\log_{2}(2\sqrt{6})$$\doteqdot 1.5+0.793$
$\log_{2}(2\sqrt{6})$$\doteqdot 2.293$
これを小数第2位で四捨五入して、
$\log_{2}(2\sqrt{6})$$\doteqdot 2.3$
である。

解答ヘ:6