真数条件より、$0 \lt $真数なので、
$0 \lt p$，$0 \lt q$
である。

解答タ：０

線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点の座標は、
$$ \begin{align} \dfrac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{1+2}&=\dfrac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}\\ &=\left(\dfrac{2\cdot 0+p}{3},\ \dfrac{2\cdot\cfrac{3}{2}+\log_{2}p}{3}\right)\\ &=\left(\dfrac{p}{3},\ \dfrac{3+\log_{2}p}{3}\right)\\ &=\left(\dfrac{1}{3}p,\ \dfrac{1}{3}\log_{2}p+1\right) \end{align} $$ である。

解答チ：１, ツ：３, テ：１, ト：３, ナ：１

これが$(q,\log_{2}q)$と一致するので、
$\dfrac{1}{3}p=q$④ $\dfrac{1}{3}\log_{2}p+1=\log_{2}q$⑤ である。

⑤式には、$\log$と$\log$じゃない項が混ざっているので、全部$\log$にしよう。
$\log_{2}2=1$なので、⑤式は
$\dfrac{1}{3}\log_{2}p+\log_{2}2=\log_{2}q$
と書ける。
これを計算して、
$\log_{2}p^{\cfrac{1}{3}}+\log_{2}2=\log_{2}q$
$\log_{2}2p^{\cfrac{1}{3}}=\log_{2}q$
$2p^{\cfrac{1}{3}}=q$
$p^{\cfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}q$
両辺を３乗して、
$p=\dfrac{1}{8}q^{3}$⑥
となる。

解答ニ：１, ヌ：８, ネ：３

⑥式を④式に代入して、
$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{8}q^{3}=q$
$q^{3}=24q$
$q^{3}-24q=0$
$q(q^{2}-24)=0$
$q(q-\sqrt{24})(q+\sqrt{24})=0$
より、
$$ \begin{align} q&= 0,\ \pm\sqrt{24}\\ &=0,\ \pm 2\sqrt{6} \end{align} $$ となるけど、真数条件より$0 \lt q$なので、
$q=2\sqrt{6}$
である。

これを④式に代入して、
$\dfrac{1}{3}p=2\sqrt{6}$
$p=6\sqrt{6}$
である。

解答ノ：６, ハ：６, ヒ：２, フ：６

$\log_{2}(2\sqrt{6})=\log_{2}\sqrt{2^{2}\cdot 6}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\log_{2}(2\sqrt{6})}&=\log_{2}\sqrt{2^{3}\cdot 3}\\ &=\log_{2}(2^{3}\cdot 3)^{\dfrac{1}{2}}\\ &=\dfrac{1}{2}\log_{2}(2^{3}\cdot 3)\\ &=\dfrac{1}{2}(\log_{2}2^{3}+\log_{2}3)\\ &=\dfrac{1}{2}(3\log_{2}2+\log_{2}3) \end{align} $$

$\phantom{\log_{2}(2\sqrt{6})}=\dfrac{1}{2}(3+\log_{2}3)$
だけど、問題文中に値が載っているのは底が$10$なので、底を$10$に変換しないといけない。
$\log_{2}(2\sqrt{6})=\dfrac{1}{2}\left(3+\dfrac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\right)$
これに$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を代入して、
$$ \begin{align} \log_{2}(2\sqrt{6})&=\dfrac{1}{2}\left(3+\dfrac{0.4771}{0.3010}\right)\\ &=\dfrac{3}{2}+\dfrac{0.4771}{2\times 0.3010}\\ &\doteqdot 1.5+0.793 = 2.293 \end{align} $$ これを小数第２位で四捨五入して、
$2.3$
である。

解答ヘ：６