ここでは２通りの解法を解説する。解法１が圧倒的に楽だけど、きっと初めて見る方法だと思うし、どんな場合にも使えるわけではない。なので、自分には合わない思う人は、解法２で解いてもらっても全く問題ない。解法２は見慣れた普通の方法である。

まず最初に確認しておくことは、「くじを引く順番で、あたる確率は変わらない」ということ。
つまり、ＡＢＣの順に引いても、ＢＣＡの順に引いても、各人のあたる確率は変わらない。
それを頭に入れて、問題の情報を整理するためにベン図を描こう。

図Ａの①の部分は「３人ともあたる」だけど、あたりのくじは２本しかないので、これは起こらない。
また、②の部分は「３人ともはずれる」だけど、はずれのくじも２本しかないので、これも起こらない。
なので、ベン図を描きなおすと図Ｂができる。

図Ｂの①は、Ａだけがあたる場合。
④は、Ａだけがはずれる場合。
この問題では、あたりくじの本数とはずれくじの本数は同じなので、①と④は同じ確率になる。
なので、①と④に限らず、図中の同じ色の区画は、同じ確率になる。

さらに、Ａだけがあたる確率も、Ｂだけがあたる確率も、Ｃだけがあたる確率も等しい。

以上より、図Ｂの①～⑥の「区画」はすべて同じ確率になる。
「区画」は６個あって、すべての確率の和は$1$なので、
どの「区画」も起こる確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$
である。

と、ここまで整理できたところで、問題を解こう。

「Ａ，Ｂ，Ｃの３人で２本のあたりのくじを引く事象$E$」は、
ＡとＢがあたる ＢとＣがあたる ＣとＡがあたる の３つの事象をたしたもの、つまり和事象である、

上の事象はそれぞれ、
Ｃだけがはずれる Ａだけがはずれる Ｂだけがはずれる と言いかえられるので、正しい選択肢は
①，③，⑤
である。

解答ウ：１, エ：３, オ：５ （順不同）

この事象$E$をベン図にすると、図Ｄの赤い部分になる。

これは、６つの「区画」のうちの３「区画」分。
すべての「区画」は起こる確率が等しいので、確率は
$\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
である。

解答カ：１, キ：２

「Ｂ，Ｃの少なくとも一方があたりのくじを引く事象$E_{2}$」は、図Ｅの赤い部分。

⓪～⑤の選択肢もそれぞれベン図にしてみる。

ここまでくると、あとは図Ｆ～図Ｋをくっつけて図Ｅをつくればよい。
なので、正しい選択肢は
図Ｆ，図Ｉ，図Ｋの、⓪，③，⑤である。

解答コ：０, サ：３, シ：５ （順不同）

事象$E_{1}$，事象$E_{2}$，事象$E_{3}$は、それぞれ図Ｃ，図Ｅ，図Ｌの赤い範囲。
事象$E$は、図Ｄの赤い範囲。
見比べると、事象$E_{1}$も事象$E_{2}$も事象$E_{3}$も、事象$E$を含んでいる。
また、(1)，(2)より、事象$E_{1}$も事象$E_{2}$も事象$E_{3}$も起こる確率は等しい。
よって、
$p_{1}=p_{2}=p_{3}$
である。

解答チ：６

問題文中に「少なくとも」とあるので、全体から余事象を引こう。
余事象は「Ａ，Ｂ両方ともはずれる｣なので、
Ａがはずれる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{1}}$
Ｂがはずれる確率は、くじを戻さないので、くじの本数もはずれの本数も１本ずつ減って、
$\displaystyle \frac{{}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{1}}$
より、余事象は
余事象$=\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{1}}\times\frac{{}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{1}}$式Ａ
余事象$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{4\cdot 3}$
余事象$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6}$

よって、求める確率は
$1-\displaystyle \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
である。

解答ア：５, イ：６

アドバイス

式Ａを見て「あれ？Ｃは？」と思った人もいるかも知れないけれど、Ｃは必要ないです。
Ｃはあたりでもはずれでもいいので、Ｃも入れた式をつくると
余事象$=\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{1}}\times\frac{{}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{1}}$$\displaystyle \times\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}$
になるけど、この式の赤文字部分は$\times 1$だから、あってもなくても変わらない。
「起こり得るどの事象が起こってもいい」場合は基本的に省略して計算できる。

「Ａ，Ｂ，Ｃの３人で２本のあたりのくじを引く事象$E$」は、
ＡとＢがあたる ＢとＣがあたる ＣとＡがあたる 事象をたしたもの、つまり和事象である、

上の事象はそれぞれ、
Ｃだけがはずれる Ａだけがはずれる Ｂだけがはずれる と言いかえられるので、正しい選択肢は
①，③，⑤
である。

解答ウ：１, エ：３, オ：５ （順不同）

ＡとＢがあたるとき、Ｃははずれるので、その確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{1}}\times\frac{{}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{1}}\times\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}=\frac{2\cdot 1\cdot 2}{4\cdot 3\cdot 2}$
                          $=\displaystyle \frac{1}{6}$
である。

アドバイス

Ｃがひくときははずれのくじしか残ってないので、上の式の$\displaystyle \times\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{2}\mathrm{C}_{1}}$の部分は省略してもいいんだけど、(2)の式Ａと違って、今回は「Ｃがはずれを引く」という条件がある。なので、ミスを防ぐためにちゃんと書く方がおすすめ。

くじを引く順番で、あたる確率は変わらない。つまり、ＡＢＣの順に引いても、ＢＣＡの順に引いても、各人のあたる確率は変わらない。
なので、
ＡとＢがあたる確率 ＢとＣがあたる確率 ＣとＡがあたる確率 は全部等しい。
よって、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}\times 3=\frac{1}{2}$
である。

解答カ：１, キ：２

まず、条件付き確率の復習をすると、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$、事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
である。

復習より、$E_{1}$と$E$の両方ともが起こる確率を求めないといけない。
そのために、$E_{1}$と$E$の集合の関係を考える。

こういった場合は、図や表で考えた方が早い。本当はベン図の方が分かりやすいんだけど、解法１でやっちゃったので、せっかくだから違う方法をする。
表を書いてみよう。
ベン図を使う方法は、解法２を見てほしい。

あたりのくじもはずれのくじも２本ずつしかないので、全員あたりや全員はずれは起こらない。つまり、表のグレーの部分は起こらない。

表Ａ

Ａがあたる場合					Ａがはずれる場合
		Ｂ					Ｂ
		当	外				当	外
Ｃ	当		○		Ｃ	当	○
	外	○				外

事象$E_{1}$は、表Ａの赤い部分。
事象$E$は、表Ａの○印の部分。
表Ａを見ると、○全部は赤い部分に入っている。
つまり、$(E_{1}\cap E)=E$なので、
$E$が起こる確率$P(E)$ と
$E_{1}$と$E$の両方が起こる確率$P(E_{1}\cap E)$ は等しい。

よって、求める条件付き確率は、復習の式より、
$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}}=\frac{6}{5\cdot 2}=\frac{3}{5}$
である。

解答ク：３, ケ：５

この問題でも、図や表を書いて見ながら考えた方が早いし、ミスも少ない。
ここでも表を書いてみる。いろんな表の書き方を紹介したいので、表Ａとは違う表をつくる。
ベン図で解く方法は、解法１を見てほしい。

「Ｂ，Ｃの少なくとも一方があたりのくじを引く事象$E_{2}$」は、表Ｂの赤い部分。

表Ｂ

Ａ	当				外
Ｂ	当		外		当		外
Ｃ	当	外	当	外	当	外	当	外
$E_{2}$

この表に、⓪～⑤の選択肢の事象の集合を書き込むと、表Ｃができる。

表Ｃ

Ａ	当				外
Ｂ	当		外		当		外
Ｃ	当	外	当	外	当	外	当	外
⓪					○	○	○
①						○
②			○	○			○
③			○
④		○		○		○
⑤		○

問題文より、$E_{2}$はコ，サ，シの和事象なので、コもサもシも$E_{2}$の集合の外にははみ出していないはずである。
なので、はみ出している②，④は不適。

また、コ，サ，シは排反なので、重なっていないはずである。
なので、⓪，①のどちらかが不適。
でも、⓪を不適にしちゃうと、赤い範囲をカバーできない。
なので、正しい選択肢は⓪，③，⑤である。

解答コ：０, サ：３, シ：５ （順不同）

先に確認したように、くじはどの順に引いてもあたる確率は変わらないので、
Ａ，Ｂの少なくとも一方があたりのくじを引く事象$E_{1}$ Ｂ，Ｃの少なくとも一方があたりのくじを引く事象$E_{2}$ Ａ，Ｃの少なくとも一方があたりのくじを引く事象$E_{3}$ の確率はすべて等しい。
よって、アイより、確率はすべて
$\displaystyle \frac{5}{6}$
である。

解答ス：５, セ：６, ソ：５, タ：６

事象$E_{1}$，事象$E_{2}$，事象$E_{3}$，事象$E$の関係を整理しよう。
この問題も、本当はベン図の方が分かりやすいんだけど、解法１でやっちゃったから、ここでは表を書く。ベン図を使う方法は解法１を見てほしい。

表Ｄ

Ａ	当				外
Ｂ	当		外		当		外
Ｃ	当	外	当	外	当	外	当	外
$E_{1}$		○	○		○
$E_{2}$		○	○		○
$E_{3}$		○	○		○

事象$E_{1}$，事象$E_{2}$，事象$E_{3}$は、それぞれ，表Ｄの赤い範囲。
事象$E$は、○印の部分。
見比べると、事象$E_{1}$も事象$E_{2}$も事象$E_{3}$も、事象$E$を含んでいる。
また、(1)，(2)より、事象$E_{1}$も事象$E_{2}$も事象$E_{3}$も起こる確率は等しい。
よって、
$p_{1}=p_{2}=p_{3}$
である。

解答チ：６