確率変数$W$は、二項分布$B(n,p)$に従うので、復習より
平均(期待値)$m=np$ 分散$\sigma^{2}=np(1-p)$ である。

よって、
$np=\dfrac{1216}{27}$式Ａ
また、標準偏差$\sigma$は分散$\sigma^{2}$の正の平方根なので、
$np(1-p)=\left(\dfrac{152}{27}\right)^{2}$式Ｂ
と書ける。

この２つの式の連立方程式を解く。

式Ａを式Ｂに代入して、
$\dfrac{1216}{27}(1-p)=\left(\dfrac{152}{27}\right)^{2}$
$1-p=\left(\dfrac{152}{27}\right)^{2}\times\dfrac{27}{1216}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{1-p}&=\dfrac{152^{2}\times 27}{27^{2}\times 1216}\\ &=\dfrac{152^{2}}{27\cdot 1216} \end{align} $$

$\phantom{1-p}=\dfrac{19}{27}$

$$ \begin{align} p&=1-\dfrac{19}{27}\\ &=\dfrac{8}{27} \end{align} $$

これを式Ａに代入して、
$\dfrac{8}{27}n=\dfrac{1216}{27}$
$$ \begin{align} n&=\dfrac{1216}{8}\\ &=152 \end{align} $$ である。

解答ア：１, イ：５, ウ：２, エ：８, オ：２, カ：７

キクケの式の右辺の()内を見ると、$W$を標準化していることが分かる。なので、左辺の()内の
$W\geqq 38$
を標準化しよう。
両辺から平均値$m$を引いて、
$W-m\geqq 38-m$
両辺を標準偏差$\sigma$で割って、
$\dfrac{W-m}{\sigma}\geqq\dfrac{38-m}{\sigma}$式Ｃ

問題文より
$\left\{\begin{array}{l} m=\dfrac{1216}{27}\\ \sigma=\dfrac{152}{27} \end{array}\right.$

なので、式Ｃは
$\dfrac{W-m}{\sigma}\geqq\dfrac{38-\cfrac{1216}{27}}{\cfrac{152}{27}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\dfrac{W-m}{\sigma}}&\geqq 38\cdot\dfrac{27}{152}-\dfrac{1216}{27}\cdot\dfrac{27}{152}\\ &\geqq\dfrac{27}{4}-\dfrac{32}{4}\\ &\geqq-\dfrac{5}{4}\\ \end{align} $$

$\phantom{\dfrac{W-m}{\sigma}}\geqq-1.25$
と変形できる。

解答キ：１, ク：２, ケ：５

ここで、$W$の従う二項分布を正規分布で近似して、$P(Z\geqq-1.25)$の確率を求めるということは、図Ａを標準正規分布として、赤い線より右の面積を求めることと同じである。

ところが、正規分布表には$0\leqq Z$の範囲しか載っていない。なので、図Ａの赤い線より右を、緑の部分と青い部分に分けて、それぞれの面積を求めて後でたそう。

緑の部分の面積は、図Ｂの緑の部分の面積と等しい。なので、正規分布表より、$0.3944$。 青い部分の面積は、グラフ全部の面積の半分なので、$0.5$。 よって、求める面積は
$0.3944+0.5\doteqdot 0.89$
なので、確率の近似値も
$0.89$
である。

解答コ：８, サ：９

確率密度関数$f(x)$をグラフにすると、図Ｃができる。
このとき、求める確率は、式Ｄより
$\displaystyle \int_{a}^{\cfrac{3}{2}a}f(x)\,dx$
つまり図Ｃ中の斜線部分の面積。
積分して求めてもいいんだけど、今は計算が簡単なので台形の面積の公式を使う。

斜線部分の面積$S$は、台形の面積の公式から
$S=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{6a}+\dfrac{1}{3a}\right)\left(\dfrac{3}{2}a-a\right)$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{S}&=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1+2}{6a}\cdot\dfrac{1}{2}a\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2a}\cdot\dfrac{a}{2}\\ \end{align} $$

$\phantom{S}=\dfrac{1}{8}$
なので、求める確率も
$\dfrac{1}{8}$
である。

解答シ：１, ス：８

$X$の平均$E(X)$は、式Ｅより（問題文にも同じ式が載っているけど）
$\displaystyle E(X)=\int_{-a}^{2a}xf(x)\,dx$式Ｆ
と書ける。
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{2}{3a^{2}}(x+a)&(-a\leqq x\leqq 0)\\ \dfrac{1}{3a^{2}}(2a-x)&(0\leqq x\leqq 2a) \end{array}\right.$
なので、式Ｆは
$$ \begin{align} E(X)&=\int_{-a}^{0}x\cdot\dfrac{2}{3a^{2}}(x+a)\,dx\\ &\hspace{60px}+\int_{0}^{2a}x\cdot\dfrac{1}{3a^{2}}(2a-x)\,dx\\ &=\dfrac{2}{3a^{2}}\textcolor{red}{\int_{-a}^{0}x(x+a)\,dx}\\ &\hspace{60px}+\dfrac{1}{3a^{2}}\textcolor{royalblue}{\int_{0}^{2a}x(2a-x)\,dx}\\ &\hspace{180px}\class{tex_formula}{式Ｆ'} \end{align} $$ となる。

これを計算するのだけれど、$\dfrac{1}{6}$公式が使えるので、楽に計算しよう。

公式

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

を使うと、
式Ｆ'の赤い部分は、
$\displaystyle \int_{-a}^{0}x(x+a)\,dx=-\dfrac{1}{6}a^{3}$
となる。

また、式Ｆ'の青い部分だけれど、展開すると$x^{2}$の係数が$-1$になってしまう。
なので、
$\displaystyle \int_{0}^{2a}x(2a-x)\,dx=-\int_{0}^{2a}x(x-2a)\,dx$
と変形してから$\dfrac{1}{6}$公式を使うと、
$$ \begin{align} -\int_{0}^{2a}x(x-2a)\, dx&=-\left\{-\dfrac{1}{6}(2a)^{3}\right\}\\ &=\dfrac{1}{6}(2a)^{3} \end{align} $$ となる。

以上より、式Ｆ'は
$E(X)=\dfrac{2}{3a^{2}}\left(-\dfrac{1}{6}a^{3}\right)+\dfrac{1}{3a^{2}}\left\{\dfrac{1}{6}(2a)^{3}\right\}$
と変形できる。

これを計算して、
$$ \begin{align} E(X)&=-\dfrac{2a^{3}}{6\cdot 3a^{2}}+\dfrac{(2a)^{3}}{6\cdot 3a^{2}}\\ &=-\dfrac{a}{3\cdot 3}+\dfrac{2^{2}a}{3\cdot 3}\\ &=\dfrac{a}{3\cdot 3}(-1+2^{2})\\ &=\dfrac{a}{3} \end{align} $$ である。

解答セ：ａ, ソ：３

ここで、確率変数の変換の復習をしておこう。

復習

確率変数$R$の
平均(期待値)が$E(R)$ 分散が$V(R)$ であるとする。

$R$を使って
$Q=aR+b$ （$a$，$b$は定数）
とするとき、確率変数$Q$の
平均(期待値)$E(Q)=aE(R)+b$
式Ｇ 分散$V(Q)=a^{2}V(R)$ である。

式Ｇより、$Y$の平均$E(Y)$は
$$ \begin{align} E(Y)&=2\cdot\dfrac{a}{3}+7\\ &=\dfrac{2a}{3}+7 \end{align} $$ である。

解答タ：２, チａ, ツ：３, テ：７