数学Ａ ： 場合の数と確率 条件付き確率の計算

例題

白球が３個・青球が２個・赤球が１個入った袋Ａと、１～４の数字が書かれた球が１個ずつ入っている袋Ｂがある。袋Ａから１個、袋Ｂから２個球を取り出し、Ｂから取り出した球の数字の和をＳとする。
取り出した球によって、次のルールで得点を決める。 Ａから出た球が白球なら、Ｓを得点とする。 Ａから出た球が青球なら、Ｓの２倍を得点とする。 Ａから出た球が赤球なら、Ｓの３倍を得点とする。 このとき、次の問いに答えなさい。

(1)Ａから取り出した球が青球のとき、得点が10以上となる条件付き確率を求めなさい。 (2)Ｓが４以上のとき、得点が10以上となる条件付き確率を求めなさい。 (3)得点が10以上のとき、Ａから取り出されたのが青球である条件付き確率を求めなさい。

アドバイス

ここでは、上の例題を １.教科書通りの解き方 ２.確率を書き込んだ表を使った解き方 ３.確率をそろえた表を使った解き方 の３通りの解法で解く。

１番目の解法は、どんな問題のときにも使えるけど、解くのは一番面倒。
２番目の解法は、３番目よりも使える問題は多く、１番目よりは解くのが楽。
３番目の解法は、使えない場合も結構あるけど、一番簡単に解ける。
なので、３つの解法すべてをマスターして、問題によって使い分けられるようになってほしい。

問題に入る前に、条件付き確率の復習をしておこう。

条件付き確率の意味は、

復習１

$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$とは、$A$が起こった場合を全事象と考えて、その中で$B$が起こる確率のことである。

だった。
多くの参考書には、

復習２

事象$A$が起こる確率を$P(A)$、事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

と書いてあると思う。
以下、解法１，２では復習２を、解法３では復習１を使って解いてみる。

解法１

問題を解く前に、Ａ，Ｂの袋から取り出した球のパターンについて考えておこう。

袋Ａから取り出す球の色は白，青，赤の３パターンで、確率は表Ａのようになる。

表Ａ
色 白 青 赤
確率 $\displaystyle \frac{3}{6}$ $\displaystyle \frac{2}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$

袋Ｂからは、１，２，３，４の数字から２個取り出すので、すべての場合は${}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$通り。
このうち、
Ｓが３になるのは、１，２が出る１通り。 Ｓが４になるのは、１，３が出る１通り。 Ｓが５になるのは、１，４と２，３が出る２通り。 Ｓが６になるのは、２，４が出る１通り。 Ｓが７になるのは、３，４が出る１通り。 これを確率にして表にまとめると、

表Ｂ
Ｓ 3 4 5 6 7
確率 $\displaystyle \frac{1}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$ $\displaystyle \frac{2}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$

となる。

表Ｂをつくる別解

袋Ｂからは、１，２，３，４の数字から２個取り出すので、すべての場合を表にすると次のようになる。

表Ｃ
1 2 3 4
1 3 4 5
2 5 6
3 7
4

表の中の数字は出た数字の和で、これがＳにあたる。
球は２個同時に取り出すので、表のグレーの部分は起こらない。
取り出した球の順番は関係ないので、表の青い部分は考えなくてもよい。

表Ｃより、 すべてのマスの数は６個。 Ｓが３のマスは１個。 Ｓが４のマスは１個。 Ｓが５のマスは２個。 Ｓが６のマスは１個。 Ｓが７のマスは１個。 なので、それぞれの確率を求めて表にすると、表Ｂと同じものができる。
説明は長かったけど、別解の作業の方が簡単だ。

ここで作った表Ａ，表Ｂを使って問題を解く。

(1)

この問題では、事象$A$は「青球が出る」、事象$B$は「得点が10点以上」である。

事象$A$になる確率は、表Ａより$\displaystyle \frac{2}{6}$

事象$A\cap B$になるのは、青球が出てＳが５以上のとき。
表Ｂより、Ｓが５以上になる確率は$\displaystyle \frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$
なので、青球が出て得点が10点以上になる確率は、
$\displaystyle \frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)}{\frac{2}{6}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$式Ａ
である。

解答$\displaystyle \frac{2}{3}$

(2)

この問題では、事象$A$は「Ｓが４以上」、事象$B$は「得点が10点以上」である。

事象$A$になるのは、表Ｂより
$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

事象$A\cap B$になるのは、Ｓが４以上 かつ 得点が10点以上なので、 Ｓが４のとき、得点が10点以上になるためには赤球が出ないといけない。なので、確率は$\displaystyle \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}$ Ｓが５のとき、得点が10点以上になるためには青球か赤球が出ればよい。なので、確率は$\displaystyle \frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\right)$ Ｓが６のとき、得点が10点以上になるためには青球か赤球が出ればよい。なので、確率は$\displaystyle \frac{1}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\right)$ Ｓが７のとき、得点が10点以上になるためには青球か赤球が出ればよい。なので、確率は$\displaystyle \frac{1}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\right)$ 以上をたして、$P(A\cap B)$は
$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\right)$
$=\displaystyle \frac{13}{6^{2}}$

よって、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{13}{6^{2}}}{\frac{5}{6}}=\frac{\frac{13}{6}}{5}=\frac{13}{30}$式Ｂ
である。

解答$\displaystyle \frac{13}{30}$

(3)

この問題では、事象$A$は「得点が10点以上である」、事象$B$は「青球が出る」である。

事象$A$になるのは、 白球が出たとき、得点が10点以上になることはない。なので、確率は$0$ 青球が出たとき、Ｓは５以上でないといけない。なので、確率は$\displaystyle \frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$ 赤玉が出たとき、Ｓは４以上でないといけない。なので、確率は$\displaystyle \frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$ 以上をたして、$P(A)$は
$0+\displaystyle \frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$
$=\displaystyle \frac{13}{6^{2}}$

得点が10点以上かつ青球が出る確率は、(1)より、$\displaystyle \frac{2\cdot 4}{6^{2}}$

なので、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{2\cdot 4}{6^{2}}}{\frac{13}{6^{2}}}=\frac{8}{13}$式Ｃ
である。

解答$\displaystyle \frac{8}{13}$

解法２

次は、表で解く方法だ。
やってることは簡単なんだけど、誤解のないようにていねいに説明すると、ちょっと長いかも。頑張ってついてきてほしい。

袋Ａから出た球の色とＳから得点を計算するとき、色が３通り，Ｓが５通りあるので、$3\times 5=15$通りのパターンがある。
これを表にまとめると次のようになる。

表Ｄ
袋Ａ
白 青 赤
Ｓ 3 3 6 9
4 4 8 12
5 5 10 15
6 6 12 18
7 7 14 21

表の中の数字は得点である。

ただし、表Ｄにはひとつ問題がある。
袋Ａから白，青，赤が出る確率は全部異なる。
Ｓがそれぞれの数字になる確率も、すべて等しいわけではない。
なので、表Ｃから表Ｂを作ったときのように、
マスの数は15個。
得点が10以上のマスは７個。
なので、得点が10以上になる確率は$\displaystyle \frac{7}{15}$
のような計算はできない。

というわけで、表Ｄはこのままだと使えない。
なので、表Ａと表Ｂをもとに確率を書き込んで、表Ｅに進化させてみよう。

表Ｅ
袋Ａ
白 青 赤
$\displaystyle \frac{3}{6}$ $\displaystyle \frac{2}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$
Ｓ 3 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 3 6 9
4 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 4 8 12
5 $\displaystyle \frac{2}{6}$ 5 10 15
6 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 6 12 18
7 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 7 14 21

こうすると、例えば得点が３になる確率は$\displaystyle \frac{3}{6}\times\frac{1}{6}$のように、簡単に計算ができるようになる。

ここまで出来れば勝ったも同然。問題を解こう。

(1)

表Ｆ
袋Ａ
白 青 赤
$\displaystyle \frac{3}{6}$ $\displaystyle \frac{2}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$
Ｓ 3 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 3 6 9
4 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 4 8 12
5 $\displaystyle \frac{2}{6}$ 5 10 15
6 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 6 12 18
7 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 7 14 21

この問題では、事象$A$は「青球が出る」、事象$B$は「得点が10点以上」である。
事象$A$，$A\cap B$の部分を表Ｅに書き込むと、表Ｆができる。

事象$A$になるのは、表Ｆの緑の部分なので、確率は$\displaystyle \frac{2}{6}$

事象$A\cap B$になるのは、表Ｆの赤文字の部分なので、確率は
$\displaystyle \frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)}{\frac{2}{6}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$式Ａ'
である。

解答$\displaystyle \frac{2}{3}$

(2)

表Ｇ
袋Ａ
白 青 赤
$\displaystyle \frac{3}{6}$ $\displaystyle \frac{2}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$
Ｓ 3 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 3 6 9
4 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 4 8 12
5 $\displaystyle \frac{2}{6}$ 5 10 15
6 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 6 12 18
7 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 7 14 21

この問題では、事象$A$は「Ｓが４以上」、事象$B$は「得点が10点以上」である。
事象$A$，$A\cap B$の部分を表Ｅに書き込むと、表Ｇができる。

事象$A$になるのは、表Ｇの緑の部分なので、確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

事象$A\cap B$になるのは、表Ｇの赤文字の部分なので、確率は
$\displaystyle \frac{2}{6}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$
$=\displaystyle \frac{1}{6^{2}}\{2(2+1+1)+(1+2+1+1)$
$=\displaystyle \frac{13}{6^{2}}$

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{13}{6^{2}}}{\frac{5}{6}}=\frac{\frac{13}{6}}{5}=\frac{13}{30}$式Ｂ'
である。

解答$\displaystyle \frac{13}{30}$

(3)

この問題では、事象$A$は「得点が10点以上である」、事象$B$は「青球が出る」である。
事象$A$，$A\cap B$の部分を表Ｅに書き込むと、表Ｈができる。

表Ｈ
袋Ａ
白 青 赤
$\displaystyle \frac{3}{6}$ $\displaystyle \frac{2}{6}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$
Ｓ 3 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 3 6 9
4 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 4 8 12
5 $\displaystyle \frac{2}{6}$ 5 10 15
6 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 6 12 18
7 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 7 14 21

事象$A$になるのは、表Ｈの緑の部分。これは表Ｇの赤文字の部分と等しいので、確率は
$\displaystyle \frac{13}{6^{2}}$

事象$A\cap B$になるのは、表Ｈの赤文字の部分。これは表Ｆの赤文字の部分と等しいので、確率は
$\displaystyle \frac{2\cdot 4}{6^{2}}$

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{2\cdot 4}{6^{2}}}{\frac{13}{6^{2}}}=\frac{8}{13}$式Ｃ'
である。

解答$\displaystyle \frac{8}{13}$

アドバイス

ここまでの解説を見れば分かるけど、解法１と解法２では、計算自体は変わらない。実際、式Ａと式Ａ'，式Ｂと式Ｂ'，式Ｃと式Ｃ'は全く同じ式だ。
実は、解法２は 解法１を表の形で整理したものにすぎない。けれど、解説は解法２の方がはるかに読みやすい。
このことから、数学では情報を目に見える形にすることが大切だと理解してもらえると思う。

解法３

解法２は解法１よりも楽になったけれど、それでもまだ面倒だ。原因は簡単で、表Ｅに問題がある。表のタテの列ごと，ヨコの行ごとに確率が異なるのが、すべての元凶なのだ。

表Ｉ
袋Ａ
白 白 白 青 青 赤
Ｓ 3 3 3 3 6 6 9
4 4 4 4 8 8 12
5 5 5 5 10 10 15
5 5 5 5 10 10 15
6 6 6 6 12 12 18
7 7 7 7 14 14 21

ならば、確率をそろえてしまえばいい。
袋Ａに入っている球は６個あるので、それを全部表に書けばいい。
表Ｂから球を２個取り出す場合の数は６通りあるので、それも全部書く。
すると表Ｉができるけど、この表のいいところは、すべてのマスが同じ確率で起こることだ。

すべてのマスが同じ確率だと、例えば得点が３点になる確率は、
マスは全部で36個。
得点が３のマスは３個。
よって、得点が３になる確率は$\displaystyle \frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
のような計算が出来て、とても便利だ。

さらに、ここで条件付き確率の意味をもう一度確認しておこう。

復習

$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$とは、$A$が起こった場合を全事象と考えて、その中で$B$が起こる確率のことである。

この条件付き確率の意味と、表Ｉを使って問題を解く。

(1)

表Ｊ
袋Ａ
白 白 白 青 青 赤
Ｓ 3 3 3 3 6 6 9
4 4 4 4 8 8 12
5 5 5 5 10 10 15
5 5 5 5 10 10 15
6 6 6 6 12 12 18
7 7 7 7 14 14 21

この問題では、事象$A$は「青球が出る」、事象$B$は「得点が10点以上」である。
事象$A$，$A\cap B$の部分を表Ｉに書き込むと、表Ｊができる。

事象$A$になるのは、表Ｊの緑の部分で、マスの数は$12$
事象$A\cap B$になるのは、表Ｊの赤文字の部分なので、マスの数は$8$
なので、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
である。

解答$\displaystyle \frac{2}{3}$

(2)

表Ｋ
袋Ａ
白 白 白 青 青 赤
Ｓ 3 3 3 3 6 6 9
4 4 4 4 8 8 12
5 5 5 5 10 10 15
5 5 5 5 10 10 15
6 6 6 6 12 12 18
7 7 7 7 14 14 21

この問題では、事象$A$は「Ｓが４以上」、事象$B$は「得点が10点以上」である。
事象$A$，$A\cap B$の部分を表Ｉに書き込むと、表Ｋができる。

事象$A$になるのは、表Ｋの緑の部分で、マスの数は$30$
事象$A\cap B$になるのは、表Ｋの赤文字の部分なので、マスの数は$13$
なので、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{13}{30}$
である。

解答$\displaystyle \frac{13}{30}$

(3)

表Ｌ
袋Ａ
白 白 白 青 青 赤
Ｓ 3 3 3 3 6 6 9
4 4 4 4 8 8 12
5 5 5 5 10 10 15
5 5 5 5 10 10 15
6 6 6 6 12 12 18
7 7 7 7 14 14 21

この問題では、事象$A$は「得点が10点以上である」、事象$B$は「青球が出る」である。
事象$A$，$A\cap B$の部分を表Ｉに書き込むと、表Ｌができる。

事象$A$になるのは、表Ｌの緑の部分で、マスの数は$13$
事象$A\cap B$になるのは、表Ｌの赤文字の部分なので、マスの数は$8$
なので、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{8}{13}$
である。

解答$\displaystyle \frac{8}{13}$

アドバイス

解法３が圧倒的に簡単なのが分かってもらえたと思う。
くり返しになるけれど、これはどんな問題でも使えるわけではない。しかし、使えればとても楽に問題が解ける。なので、この方法をぜひマスターしてほしい。