数学A : 場合の数と確率 大学入試センター試験 2005年本試 数学ⅠA第1問 [2] 解説
アドバイス
2次関数と確率をからめた問題が、過去何度か出題されている。
と言っても、2次関数の部分はぜんぜん難しくないから大丈夫。
(1)
グラフ$C$の式は
$y=x^{2}-\displaystyle \frac{b-2}{a}$
なので、頂点の$y$座標は
$-\displaystyle \frac{b-2}{a}=\frac{2-b}{a}$式A
である。
グラフ$C$は下に凸の放物線なので、頂点の$y$座標が
正のとき、共有点は0個 | 式B | |
$0$のとき、共有点は1個 | ||
負のとき、共有点は0個 |
になる。
ということで、式Aの符号を考える。
けれど、分母の
$a$
は必ず正だから、分子の
$2-b$
の符号がそのまま式Aの符号、つまりグラフの頂点の$y$座標の符号だ。
$b$は小さい方のさいころの目だから、$1\leqq b\leqq 6$の整数。
なので、式Bとあわせて、さいころの目が
$1$のとき $2-b \gt 0$なので、共有点は0個 | |
$2$のとき $2-b=0$なので、共有点は1個 | |
$3,4,5,6$のとき $2-b \lt 0$なので、共有点は2個 |
とかける。
よって、共有点は
0個である確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$ | 式C | |
1個である確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$ | ||
2個である確率は$\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ |
となる。
解答タ:1, チ:6, ツ:1, テ:6, ト:2, ナ:3
(2)
アドバイス
次に問われている期待値は、今の教育課程からは外れている。
一応解説は書いておくけど、読み飛ばしてもらってかまわない。
式Cより、期待値は
$0\displaystyle \times\frac{1}{6}+1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{4}{6}$
とかける。
これを計算すると、
$\displaystyle \frac{1+2\times 4}{6}=\frac{9}{6}$
$\displaystyle \frac{1+2\times 4}{6}$$\displaystyle =\frac{3}{2}$
となる。
解答ニ:3, ヌ:2
(3)
共有点の$x$座標が整数なので、
グラフ$C$の式に$y=0$を代入した
$x^{2}-\displaystyle \frac{b-2}{a}=0$式D
の解が整数であればよい。
つまり、式Dを変形した
$x^{2}=\displaystyle \frac{b-2}{a}$
の右辺の
$\displaystyle \frac{b-2}{a}$
が整数の2乗になればよい。
ということで、表を書く。
$b=1$のときには共有点はないので$2\leqq b$のときだけ考えるんだけど、$b=1$のときもマスだけは作っておく方がお勧めだ。
まず、$b-2$の部分を計算すると、表Aができる。
$b$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
---|---|---|---|---|---|---|
$b-2$ | - | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
この$b-2$を$a$で割ると、表Bのようになる。
$b-2$ | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
- | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | ||
$a$ | $1$ | - | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
$2$ | - | $0$ | $1$ | $2$ | |||
$3$ | - | $0$ | $1$ | ||||
$4$ | - | $0$ | $1$ | ||||
$5$ | - | $0$ | |||||
$6$ | - | $0$ |
表中、-は共有点がない場合、空欄は$\displaystyle \frac{b-2}{a}$が分数になる場合である。
分数になる場合は明らかに不適なので、計算しなかった。
表Bより、$\displaystyle \frac{b-2}{a}$が整数の2乗になるのは、赤いマスの部分で$11$通り。
マスの数は全部で$36$あって、すべて同じ確率で起こる。
よって、求める確率は
$\displaystyle \frac{11}{36}$
である。
解答ネ:1, ノ:1, ハ:3, ヒ:6