数学A : 場合の数と確率 図形の頂点を結んでできる三角形の個数

例題

[1] 正7角形ABCDEFGの7個の頂点から3つを選んで三角形をつくる。このとき、
(1) 三角形は全部で何個できるか答えなさい。
(2) (1)の三角形のうち、合同でない三角形は何種類で、これぞれ何個できるか答えなさい。

[2] 立方体ABCD-EFGHの8個の頂点から3つを選んで三角形をつくる。このとき、
(1) 三角形は全部で何個できるか答えなさい。
(2) (1)の三角形のうち、合同でない三角形は何種類で、それぞれ何個できるか答えなさい。

アドバイス

この問題のメインは、(2)の三角形の種類だ。やみくもに考えると、きっと混乱する。なので、ルールを決めよう。

おすすめの方法は、外接する図形(この場合は正7角形)と共有する辺の数ごとに考えるやり方だ。

外接する図形と三角形が辺を共有する方法は、外接するのが特殊な図形出ない限り、
2辺を共有する 1辺を共有する 辺を共有しない の3パターン。
このパターンごとに考えると、楽に数えられる。

[1]

(1)

正7角形の頂点は7個だから、その中から3個選んで線分でつなげば、三角形ができる。

なので、
${}_{7}\mathrm{C}_{3}=\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}$
${}_{7}\mathrm{C}_{3}$$=35$
となる。

解答$35$個


(2)

2辺を共有するパターン

図A
図形の頂点を結んでできる三角形の個数 解説図A

(1)で求めた$35$個の三角形のうち、正7角形と2辺を共有するものは、
△ABCと合同な三角形 の1種類しかできない。(図A)
この三角形は、正7角形の隣り合う辺を共有する。言いかえれば、正七角形のひとつの頂点の両側の辺を共有する。
なので、正七角形の頂点の数だけできるから、数は$7$個。


1辺を共有するパターン

図B
図形の頂点を結んでできる三角形の個数 解説図B

次は、正7角形と1辺を共有する場合。
辺ABを共有するとき、三角形の2つの頂点はA,Bなので、3つめの頂点はA,B以外から選ぶことになる。
でも、CやFを3つめの頂点にしてしまうと、正7角形と2辺を共有するからダメ。
よって、できる三角形は図Bの3つ。

3つの三角形のうち、赤とオレンジの三角形は、ひっくり返っているけど合同。
なので、1辺を共有するものは、
△ABDと合同な三角形 △ABEと合同な三角形 の2種類できることになる。

△ABDと合同な三角形は、ひとつの辺につき2個できるから、
$2\times 7=14$
で$14$個できる。

△ABEと合同な三角形は、ひとつの辺につき1個できるから、
$1\times 7=7$
で$7$個できる。


辺を共有しないパターン

図C
図形の頂点を結んでできる三角形の個数 解説図C

このパターンが一番イメージがつかみにくいかも。

正7角形の7つの頂点から3つ選ぶのだけど、1つめにAを選ぶと、B,Gは選べなくなる。選んじゃうと、三角形と正7角形で辺が共有されちゃうから。
2つめにCを選ぶと、Dも選べなくなるから、3つめはE,Fのどちらか。
で、三角形が2個できる。(図C)
この2個の三角形は合同。

1つめにA,2つめにDを選ぶと△ADFができるけど、これも合同。

なので、辺を共有しない三角形は
△ACEと合同な三角形 の1種類しかできない。

この三角形の数を数えるのは結構面倒なので、全体から辺を共有するものを引いて求めよう。
(1)より、三角形は全部で$35$個。
これまでの解説から、
2辺を共有するものが$7$個 1辺を共有するものが$14+7$個 なので、辺を共有しないものは
$35-(7+14+7)=7$
より、$7$個できる。


以上より、解答は次の通り。

解答△ABCと合同なもの$7$個
△ABDと合同なもの$14$個
△ABEと合同なもの$7$個
△ACEと合同なもの$7$個

[2]

立体でも考え方は平面と同じだ。

(1)

立方体の頂点は8個だから、その中から3個選んで線分でつなげば、三角形ができる。

なので、
${}_{8}\mathrm{C}_{3}=\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}$
${}_{8}\mathrm{C}_{3}$$=56$
となる。

解答$56$個


(2)

2辺を共有するパターン

図D
図形の頂点を結んでできる三角形の個数 解説図D

(1)で求めた$56$個の三角形のうち、立方体と2辺を共有するものは、
△ABCと合同な直角二等辺三角形 の1種類しかできない。
この形の三角形は、図Dのようにひとつの頂点のまわりに3個できるので、
$3\times 8=24$
より、$24$個できる。


1辺を共有するパターン

図E
図形の頂点を結んでできる三角形の個数 解説図E

次は、立方体と1辺を共有する場合。
辺AEを共有するとき、三角形の2つの頂点はA,Eなので、3つめの頂点はA,E以外から選ぶことになる。
でも、B,D,F,Hを3つめの頂点にしてしまうと、立方体と2辺を共有するからダメ。
よって、できる三角形は図Eの2つだけど、この2つは上下ひっくり返っているけど合同だ。
なので、1辺を共有するものは、
△ACEと合同な直角三角形
の1種類しかできない。

この直角三角形は、立方体のひとつの辺につき2個でき、辺の数は$12$なので、
$2\times 12=24$
で$24$個できる。


辺を共有しないパターン

図F
図形の頂点を結んでできる三角形の個数 解説図F

立方体の8つの頂点から3つ選ぶのだけど、1つめにAを選ぶと、B,D,Eは選べなくなる。選んじゃうと、三角形と立方体で辺が共有されちゃうから。
2つめにCを選ぶと、Gも選べなくなるから、3つめはF,Hのどちらか。
で、ACを使った場合、三角形は2個できる。(図F)
この2個の三角形は合同な正三角形。
これ以外の形の三角形は作れない。

なので、辺を共有しない三角形は
△ACFと合同な正三角形 の1種類しかできない。

この三角形の数を数えるのは結構面倒なので、全体から辺を共有するものを引いて求めよう。
(1)より、三角形は全部で$56$個。
これまでの解説から、
2辺を共有するものが$24$個 1辺を共有するものが$24$個 なので、辺を共有しないものは
$56-(24+24)=8$
より、$8$個できる。


以上より、解答は次の通り。

解答直角二等辺三角形$24$個
二等辺じゃない直角三角形$24$個
正三角形$8$個