数学Ａ ： 場合の数と確率 大学入試センター試験 1997年追試 数学ⅠＡ第１問 [2] 解説
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(1)
![大学入試センター試験1997年追試 数学ⅠＡ第１問 [2] 解説図Ａ](_image/1997tui_1A_1_2_01.svg)
２個の円がともに第５段にあるので、図Ａの赤い５個の円から２個選ばれればよい。
５個から２個選ぶので、起こってほしい場合の数は
${}_{5}\mathrm{C}_{2}$式Ａ
である。
また、すべての場合の数は、15個から２個選ぶので、
${}_{15}\mathrm{C}_{2}$式Ｂ
である。
よって、求める確率は
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}=\frac{\frac{\textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{5}}} \cdot \textcolor{red}{\cancelto{2}{\textcolor{black}{4}}} }{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}}{\frac{\textcolor{green}{\cancelto{3}{\textcolor{black}{15}}} \cdot \textcolor{red}{\cancelto{7}{\textcolor{black}{14}}} }{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}}$
$=\displaystyle \frac{2}{3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{2}{21}$
となる。
解答サ：２, シ：２, ス：１
(2)
(1)の流れで
２つの円がともに第２段にあるとき
２つの円がともに第３段にあるとき
２つの円がともに第４段にあるとき
の場合の数を求めて、和を求めて確率を求めよう。
２つの円がともに第２段にあるとき、
②，③から２個選ぶので、場合の数は
${}_{2}\mathrm{C}_{2}$
２つの円がともに第３段にあるとき、
④～⑥から２個選ぶので、場合の数は
${}_{3}\mathrm{C}_{2}$
２つの円がともに第４段にあるとき、
⑦～⑩から２個選ぶので、場合の数は
${}_{4}\mathrm{C}_{2}$
２つの円がともに第５段にあるとき、
場合の数は式Ａの
${}_{5}\mathrm{C}_{2}$
なので、２個の円が同じ段にある場合の数は
${}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{5}\mathrm{C}_{2}$
である。
よって、求める確率は、これを式Ｂで割って、
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{5}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}$
$=\displaystyle \frac{\frac{\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{2}}} \cdot 1}{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}+\frac{3\cdot \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{2}}}}{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}+\frac{\textcolor{red}{\cancelto{2}{\textcolor{black}{4}}} \cdot 3}{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}+\frac{5\cdot \textcolor{red}{\cancelto{2}{\textcolor{black}{4}}}}{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}}{\frac{15\cdot \textcolor{red}{\cancelto{7}{\textcolor{black}{14}}}}{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}}$
$=\displaystyle \frac{1+3+2\cdot 3+5\cdot 2}{15\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{\textcolor{red}{\cancelto{2}{\textcolor{black}{10}}} +\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{5}}} \cdot 2}{\textcolor{red}{\cancelto{3}{\textcolor{black}{15}}} \cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{2+2}{3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{4}{21}$
となる。
解答セ：４, ソ：２, タ：１
(3)
「少なくとも」ということなので、排反事象の確率を求めて$1$から引こう。
排反事象は、
２個の円の中に①～⑥の円が含まれない
つまり
⑦～⑮の９個の円から２個選ぶ
場合。
なので、排反事象の確率は
$\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}$
とかける。
求める確率は、これを$1$から引いた
$1-\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}=1-\frac{\frac{\textcolor{green}{\cancelto{3}{\textcolor{black}{9}}} \cdot \textcolor{red}{\cancelto{4}{\textcolor{black}{8}}}}{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}}{\frac{\textcolor{green}{\cancelto{5}{\textcolor{black}{15}}} \cdot \textcolor{red}{\cancelto{7}{\textcolor{black}{14}}}}{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{2\cdot 1}}}}}$
$=1-\displaystyle \frac{3\cdot 4}{5\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{35}{35}-\frac{12}{35}$
$=\displaystyle \frac{23}{35}$
である。
解答チ：２, ツ：３, テ：３, ト：５
(4)
あれこれ考えるよりやってみた方が早い。
接している円を青い線でつないで、図Ｂをつくってみた。
２個の円が接するのは、図Ｂの青い線でつないだ２個の円が選ばれた場合。
![大学入試センター試験1997年追試 数学ⅠＡ第１問 [2] 解説図Ｂ](_image/1997tui_1A_1_2_02.svg)
つまり、２個の円が接する場合の数は、青い線の数だけある。
この青い線をそのまま数えてもいいんだけど、図Ｃのように考えると、
青い線の数は緑の三角形の辺の数と等しい
ことが分かる。
つまり、
緑の三角形の数$\times 3$
だ。
![大学入試センター試験1997年追試 数学ⅠＡ第１問 [2] 解説図Ｃ](_image/1997tui_1A_1_2_03.svg)
緑の三角形の数は、頂角、つまり図Ｃの赤い点の数を数えると早い。
頂角は①～⑩の円の中に１個ずつあるので、$10$個。
なので、緑の三角形も$10$個。
それを$3$倍して、辺の数は$30$。
よって、図Ｂの青い線の数も$30$なので、２個の円が接する場合の数は$30$だ。
以上より、求める確率は、$30$を式Ｂで割った
$\displaystyle \frac{30}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}=\frac{\textcolor{green}{\cancelto{2}{\textcolor{black}{30}}}}{\frac{\textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{15}}} \cdot \textcolor{red}{\cancelto{7}{\textcolor{black}{14}}}}{\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{2}}} \cdot 1}}$
$=\displaystyle \frac{2}{7}$
である。
解答ナ：２, ニ：７