数学Ａ ： 場合の数と確率 条件付き確率の意味
はじめに
大学入学共通テストでよく出題される条件付き確率だけれど、意味がよく分からないって人もいるようなので、基本的なところを説明しておこう。
まず復習をしておくと、条件付き確率の意味は
復習
事象$A$が起こったときにが事象$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$とは、$A$が起こった場合を全事象と考えて、その中で$B$が起こる確率のことである。
だった。
これではイメージがつかみにくいので、例を挙げて解説する。
例題１
例題
１～12の数字が１つずつ書かれた10枚のカードがある。この中から無作為にカードを１枚選ぶ。
選ばれたカードに書かれた数字が素数のとき、それが12の約数である条件付き確率を求めなさい。
解説
$1$～$12$の数字から素数と$12$の約数を探すと、図Ａのようになる。
この問題で 上の復習の事象$A$にあたるのは 素数の場合。
図Ａでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。
上の復習の事象$B$にあたるのは $12$の約数の場合。
図Ａでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤文字の部分だ。
よって、求める条件付き確率は、図Ａの
緑の部分を全事象としたときの
赤文字になる確率
であるといえる。
また、全ての数字は同じ確率で選ばれる。
以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\text{赤文字の数}}{\text{緑の部分の数字の数}}=\frac{2}{5}$
である。
解答$\displaystyle \frac{2}{5}$
例題２
例題
１個のさいころを２回投げて、１回目に出た目を$a$，２回目に出た目を$b$とする。
$a \lt b$ のとき、$a+b\leqq 4$ である条件付き確率を求めなさい。
解説
さいころを２回投げるので、目の出かたの場合の数は$6\times 6=36$通りで、表にすると表Ｂのようになる。
| $b$ | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |  | ||
| $a$ | | ○ | ○ | ||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
この問題で、上の復習の事象$A$にあたるのは $a \lt b$の場合。
表Ｂでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。
上の復習の事象$B$にあたるのは $a+b\leqq 4$である場合。
表Ｂでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤丸の部分だ。
よって、求める条件付き確率は、表Ｂの
緑の部分を全事象としたときの
赤丸になる確率
であるといえる。
また、表Ｂの全てのマスは同じ確率で起こる。
以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\text{赤丸の数}}{\text{緑のマスの数}}=\frac{2}{15}$
である。
解答$\displaystyle \frac{2}{15}$
例題３
例題
Ａ，Ｂの２組でテストをしたところ、得点の分布は図のようになった。
この２クラスの生徒から一人選ぶ。
選ばれた生徒の得点が80点以上のとき、Ａ組の生徒である条件付き確率を求めなさい。
解説
この問題で、上の復習の事象$A$にあたるのは、選ばれたのが得点が80点以上の生徒の場合。
図Ｃでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。
上の復習の事象$B$にあたるのは、選ばれたのがＡ組の生徒の場合。
図Ｃでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤で囲んだ部分だ。
よって、求める条件付き確率は、図Ｃの
緑の部分を全事象としたときの
赤で囲んだ部分になる確率
であるといえる。
以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\text{赤で囲んだ部分の人数}}{\text{緑の部分の人数}}=\frac{5}{9}$
である。
解答$\displaystyle \frac{5}{9}$
例題４
例題
男子と女子の人数比が$2:3$のクラスで 文化祭の出し物のアンケートをしたところ、男子の$\displaystyle \frac{1}{2}$と女子の$\displaystyle \frac{1}{6}$がお化け屋敷と回答した。
このクラスの生徒から一人選ぶ。
選ばれたのがお化け屋敷と回答した生徒である場合、男子である条件付き確率を求めなさい。
解説
例題の文章を表に整理すると、表Ｄができる。
| 男子 $\displaystyle \frac{2}{5}$ | 女子 $\displaystyle \frac{3}{5}$ | |
|---|---|---|
| お化け屋敷 | $\displaystyle \frac{2}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{2}{10}$ | $\displaystyle \frac{3}{5}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{10}$ |
| その他 | 略 | 略 |
この問題で、上の復習の事象$A$にあたるのは、選ばれたのがお化け屋敷と回答した生徒の場合。
表Ｄでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。
上の復習の事象$B$にあたるのは、選ばれたのが男子の場合。
表Ｄでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤文字の部分だ。
よって、求める条件付き確率は、表Ｄの
緑の部分を全事象としたときの
赤文字の部分になる確率
であるといえる。
以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{2}{10}}{\frac{2}{10}+\frac{1}{10}}=\frac{2}{3}$
である。
解答$\displaystyle \frac{2}{3}$
アドバイス
条件付き確率のイメージはつかめただろうか。
参考書なんかには
復習
事象$A$が起こる確率を$P(A)$，事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
って書いてあることが多いと思う。
もちろんこれは正しいし、結局は上の解説と同じことを言っているんだけど、上の解説のように 意味から考えた方がシンプルに解けることも多い。
どちらの方法も使えるようにしておこう。