正方形ABCDがあり、頂点Aにコインが置いてある。さいころを投げ、出た目の数だけコイン移動させる。このとき、コインは頂点A→B→C→D→Aの順に移動するものとする。
(1)さいころを１回投げた後、コインが頂点Aにもどる確率を求めなさい。 (2)さいころを２回投げた後、コインがはじめて頂点Aにもどる確率を求めなさい。 (3)さいころを３回投げた後、コインがはじめて頂点Aにもどる確率を求めなさい。 （類：センター試験2007年本試，1990年追試）

「場合の数と確率」の単元の問題は、教科書通りのテクニックだけで解ける問題よりも、自分でパターンを見つけて解く問題が目立つ。全体的に難易度は高くないのだが、自分でパターンを見つける作業に慣れてないと、意外に時間がかかったりする。
なので、様々な問題にあたって慣れておくことをお薦めする。

例題の、点が多角形の頂点を移動してゆくタイプの問題は、回数は少ないけれど過去に何度か出題されている。ここ10年ほど出ていないので、そろそろ出題されるかもしれない。念のために復習しておこう。
解き方はいろいろあるけれど、目で見て考える方がミスが少ない。そのため、ここでは表を使う方法を解説する。

コインは頂点Aからスタートして、図Ａのように移動する。

図の固定

さいころをふって出た目の数だけコインは矢印方向に進むので、さいころの目と移動後の頂点は表Ｂのような関係になる。

よって、さいころを１回投げた後にコインが頂点Aにもどる確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}$
である。

解答$\displaystyle \frac{1}{6}$

さいころ２回は表Ｃのように簡単に表が書けるけど、３回は書きにくい。なので、方法をちょっと考えないといけない。

まず、(2)の表Ｃから、さいころを２回投げた後のコインの位置を考えてみよう。

３回投げた後にコインがはじめて頂点Aにもどる確率を求めるので、１回投げた後にAにもどる青いマスと、２回投げた後にAにもどる赤いマスは不適。

白いマスだけを考えると、
Bが$6$マス Cが$7$マス Dが$9$マス ある。

つまり、コインが一度も頂点Aに止まらない場合だけを考えると、さいころを２回投げた後のコインの位置と確率は表Ｄのようになる。

さらに、さいころを投げたときに出た目とコインの動きをまとめると、
$1$の目が出ると、コインは１つ次の頂点に進む $2$が出ると、２つ進む $3$が出ると、３つ進む $4$が出ると、一周回って同じ頂点にもどる $5$が出ると、一周回って１つ進む $6$が出ると、一周回って２つ進む である。これをコインの動きに注目して確率にすると、表Ｅができる。

表Ｄと表Ｅから、さいころを３回投げた後のコインの位置は、表Ｆのようになる。

表Ｆより、３回投げた後にコインがはじめて頂点Aにもどる確率は、
$\displaystyle \frac{6}{36}\cdot \frac{1}{6}$$+$$\displaystyle \frac{7}{36}\cdot\frac{2}{6}$$+$$\displaystyle \frac{9}{36}\cdot\frac{2}{6}$
$=\displaystyle \frac{3}{36\cdot 3}+\frac{7}{36\cdot 3}+\frac{9}{36\cdot 3}$
$=\displaystyle \frac{19}{36\cdot 3}$
$=\displaystyle \frac{19}{108}$
である。

解答$\displaystyle \frac{19}{108}$