数学A : 場合の数と確率 大学入試センター試験 2008年本試 数学ⅠA第4問 解説
アドバイス
ここで解説した2008年度本試の問題だけど、お勧めの解法は樹形図一択だ。
ほかの方法でも解けるけど、樹形図よりも面倒で、その結果ミスの確率も上がるのでお勧めしない。
特に、計算だけで解こうとすると混乱しがちなので やめた方がいいと思う。ここで解説もしない。
以下の解説では、説明を簡単にするために、
「文字Aを書く」を 操作A
「文字Bを書く」を 操作B
「何も書かない」を 操作C
と書くことにする。
樹形図を使った解法
問題を解く準備
問題から樹形図を描くと、図Aができる。
図中のは、何も書かれていないときの文字の列を表している。
最初に、さいころを3回投げてできる~の$27$個の文字の列それぞれの場合の数を考えておこう。
例えば、のAAAになるためには、3回の操作のうち
1回目は、操作A | |
2回目も、操作A | |
3回目も、操作A |
でなければならない。
よって、3回ともさいころの目はまたはのどちらかなので、場合の数は
$2^{3}=8$通り
となる。
同様に、のAABも、のAも、場合の数は8通りである。
このことから予想できるけど、~のどれも場合の数は8通りで、すべて確率は等しい。
以上を頭において、問題を解こう。
(1)
図Aを見ると、文字の列がAAAなのは、の1か所。
なので、目の出方は8通り。
解答ア:8
図Aを見ると、文字の列がABなのは、の1か所。
なので、この場合も、目の出方は8通り。
解答イ:8
(2)
図Aを見ると、文字の列がAなのは5か所。
また、すべての文字の列は~の$27$個で、上で考えたように どの場合も確率は等しい。
なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{5}{27}$
となる。
解答ウ:5, エ:2, オ:7
図Aを見ると、文字の列がなのも5か所。
よって、求める確率は、この場合も
$\displaystyle \frac{5}{27}$
である。
解答カ:5, キ:2, ク:7
(3)
図Aを見ると、字数が3なのは8か所。
なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{8}{27}$
となる。
解答ケ:8, コ:2, サ:7
図Aを見ると、字数が2なのは4か所。
なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{4}{27}$
である。
解答シ:4, ス:2, セ:7
アドバイス
次に問われている期待値は、今の教育課程からは外れている。
一応解説は書いておくけど、読み飛ばしてもらってかまわない。
図Aを見ると、
字数が3なのは8か所 | |
字数が2なのは4か所 | |
字数が1なのは10か所 | |
字数が0なのは5か所 |
である。
どの文字列になる確率も等しいので、期待値は~の字数の平均と等しい。
よって、求める期待値は、
$\displaystyle \frac{3\cdot 8+2\cdot 4+1\cdot 10+0\cdot 5}{27}=\frac{42}{27}$
$\displaystyle \frac{3\cdot 8+2\cdot 4+1\cdot 10+0\cdot 5}{27}$$\displaystyle =\frac{14}{9}$
となる。
解答ソ:1, タ:4, チ:9
表を使った解法
あんまりお勧めじゃないけど、樹形図の代わりに表を書くという手もある。
ただし、この問題ではさいころを3回投げるので、表の書き方をちょっと工夫しないといけない。
お勧めは、表Bのように、1回目にが出たとき,が出たとき,が出たときの3つの表に分けて書く方法だ。
1回目にが出たとき | |||||
---|---|---|---|---|---|
A | 3回目 | ||||
2回目 | AA | AAA | AAB | A | |
AB | ABA | ABB | A | ||
A | B |
1回目にが出たとき | |||||
---|---|---|---|---|---|
B | 3回目 | ||||
2回目 | BA | BAA | BAB | B | |
BB | BBA | BBB | B | ||
A | B |
1回目にが出たとき | |||||
---|---|---|---|---|---|
3回目 | |||||
2回目 | A | AA | AB | ||
B | BA | BB | |||
A | B |
表中、緑のマスはさいころを1回投げた後の文字の列、青いマスは2回投げた後の文字の列を表している。
表Bを使って答えを求める方法は、図Aを使う場合とほとんど変わらないので省略する。
発展
センター試験の問題は 操作A,B,Cの確率がすべて等しかったので解きやすかった。
けれど、いつも確率が等しいとは限らない。
確率がばらばらのときを考えてみよう、
例題
のとき、操作A | |
のとき、操作B | |
のとき、操作C |
として、このとき、字数が1になる確率を求めなさい。
さっきの問題では、お薦めの方法は樹形図だった。
今度の問題では、お薦めの方法は表だ。
理由は[発展:樹形図を使った解法]の最後で説明する。
発展:表を使った解法
表Bと同様に、表Cを作る。
ポイントは、2回目・3回目とも、~の6つの行や列をつくること。
こうすると、各表の中で全てのマスの確率が等しくなる。
ただし、表がごちゃごちゃするのを避けるため、表Cでは操作が同じ場合はまとめて表示した。
例えば、表中の赤文字の部分は 罫線を省略して3マス分をひとつに、青文字の部分は6マス分をひとつにまとめてある。
表C1:1回目にが出たとき | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A | 3回目 | |||||||
2回目 | AA | AAA | AAB | A | ||||
AB | ABA | ABB | A | |||||
A | B | |||||||
表C2:1回目にが出たとき | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
B | 3回目 | |||||||
2回目 | BA | BAA | BAB | B | ||||
BB | BBA | BBB | B | |||||
A | B | |||||||
表C3:1回目にが出たとき | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3回目 | ||||||||
2回目 | A | AA | AB | |||||
B | BA | BB | ||||||
A | B | |||||||
字数が1なのは、表Cの赤い部分。
このマスを数える。
ただし、表Cの3つの表は起こる確率が異なる。
1回目がのときを基準に考えると、
1回目がになるのは2倍 | |
1回目がになるのは3倍 |
の割合で起こる。
なので、表C2のマスの数は2倍,表C3は3倍にする。
表C1では、赤いマスは$18$個。
表C2でも赤いマスは$18$個だけど、
$2$倍するので $18\times 2$個。
表C3では、赤いマスは$9$個だけど、
$3$倍するので $9\times 3$個。
合計すると、赤いマスは
$18+18\cdot 2+9\cdot 3=9(2+2\cdot 2+3)$
$18+18\cdot 2+9\cdot 3$$=9^{2}$
$18+18\cdot 2+9\cdot 3$$=3^{4}$個。
表C1~表C3の全部のマスは、表1つあたり$6\times 6$個なので、
$6\cdot 6 + 6\cdot 6\times 2 + 6\cdot 6\times 3 =6\cdot 6(1+2+3)$
$=6^{3}$個
よって、確率は、
$\displaystyle \frac{3^{4}}{6^{3}}=\frac{3}{2^{3}}$
$=\displaystyle \frac{3}{8}$
である。
解答$\displaystyle \frac{3}{8}$
発展:樹形図を使った解法
まず~の文字の列になる確率を考えておこう。
例えば文字の列がAAAとなる場合の数は、
1回目は、操作A | |
2回目も、操作A | |
3回目も、操作A |
でなければならないから、
$1^{3}=1$通り。
BBBとなる場合の数は、
1回目は 操作B、 | |
2回目も、操作B | |
3回目も、操作B |
でなければならないから、
$2^{3}=8$通り。
このことから予想できるけど、それぞれの文字の列はできる確率が結構ばらばらだ。
図Dのように樹形図を作って、確率ごとに番号を色分けしてみたけど、本当にばらばらなのが分かると思う。
この図を使って例題を解くと、次のようになる。
字数がAになるのは、のとき。
それぞれの場合の数は、
なので、あわせて
$3\times 2+6\times 4+9\times 1+12\times 2+18\times 1=81$式A
通り。
全部の場合の数は、さいころを3回投げるので
$6^{3}$
通り。
よって、確率は
$\displaystyle \frac{81}{6^{3}}=\frac{3^{4}}{6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{3}{2^{3}}$
$=\displaystyle \frac{3}{8}$
である。
解答$\displaystyle \frac{3}{8}$
アドバイス
以上、樹形図を使って例題を解いてみたけれど、式Aにたどり着くまでがややこしい。
確率がばらばらなのはしかたがないけれど、図Dで そのばらばらの確率が不規則に並んでいるのが良くないのだ。作業がややこしいと、ミスも招きやすい。
なので、例題のように確率がばらばらの場合は、樹形図はお勧めできない。