$m=14$のとき、
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=14$式Ａ
なので、$a$は$3$以下でないといけない。

詳しく

$a$が$4$以上だと$a^{2} \geqq 16$なので、式Ａは成り立たない。

あとは、やってみよう。

やってみるときのコツは、荷造りと同じで
大きなものから入れる
だ。

$a$は$3$以下なので、最大の
$a=3$
からはじめる。

このとき、式Ａより
$3^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=14$
なので、
$b^{2}+c^{2}+d^{2}=5$式Ａ1
だから、$b$は$2$以下でないといけない。

$b$は$2$以下なので、最大の
$b=2$
とする。

このとき、式Ａ1より
$2^{2}+c^{2}+d^{2}=5$
なので、
$c^{2}+d^{2}=1$
だ。

よって

	$c=1$
	$d=0$

であれば、式Ａを満たすことが分かる。

以上より、$m=14$のとき、これを満たす$(a,b,c,d)$は
$(3,2,1,0)$
である。

解答ア：３, イ：２, ウ：１, エ：０

アドバイス

今回は問題文から解が一組しかないことが分かるけど、解が何組あるか分からないときは、$a$の数をひとつずつ減らして全部のパターンをやってみないといけない。

$m=28$のときも、$m=14$のときと同じようにやってみる。
一応解説したけれど、$m=14$のときと同様なので、読み飛ばしてもらって問題ない。
「解説」のグレーの部分をタップ／クリックすると見ることができる。

解説

$m=28$のとき、
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=28$式Ｂ
なので、$a$は$5$以下でないといけない。

$a=5$のとき

$a$は$5$以下なので、最大の$5$からはじめる。

このとき、式Ｂより
$5^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=28$
なので
$b^{2}+c^{2}+d^{2}=3$式Ｂ1
だから、$b$は$1$以下でないといけない。

よって、$a=5$のとき、式Ｂを満たす組合せは
$\left\{\begin{array}{l}a=5\\b=1\\c=1\\d=1\end{array}\right.$
のひとつだけ。

$a=4$のとき

$a=5$は終わったので、次は$a=4$だ。

このとき、式Ｂより
$4^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=28$
なので、
$b^{2}+c^{2}+d^{2}=12$式Ｂ2
だから、$b$は$3$以下でないといけない。

$b=3$のとき

ます、一番大きな$3$から。

このとき、式Ｂ2より
$3^{2}+c^{2}+d^{2}=12$
なので
$c^{2}+d^{2}=3$
だ。
これを満たす$c,d$の組は存在しないので、$b=3$は不適。

$b=2$のとき

このとき、式Ｂ2より
$2^{2}+c^{2}+d^{2}=12$
なので、
$c^{2}+d^{2}=8$
だから、
$\left\{\begin{array}{l}a=4\\b=2\\c=2\\d=2\end{array}\right.$
であれば、式Ｂを満たすことが分かる。

$b \lt 2$のとき、式Ｂ2を満たす組合せはない。

$a=3$のとき

このとき、式Ｂより
$3^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=28$
なので、
$b^{2}+c^{2}+d^{2}=19$式Ｂ3
だから、$b$は$3$でないといけない。

詳しく

$b\geqq c\geqq d$なので、$b\leqq 2$のときは、
$b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqq 12$
になってしまう。
$19$に届かないので不適。

$b=3$のとき

式Ｂ3より
$3^{2}+c^{2}+d^{2}=19$
なので
$c^{2}+d^{2}=10$式Ｂ4
だから、
$\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=3\\c=3\\d=1\end{array}\right.$
であれば、式Ｂを満たすことが分かる。

式Ｂは$c$が$2$以下の場合は成り立たないので、$a=3$のときには他の組合せはない。

$a\leqq 2$のとき、

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqq 16$
なので、式Ｂを満たす組合せはない。

上の解説より、$m=28$のとき、①を満たす$(a,b,c,d)$は
$(5,1,1,1)$，$(4,2,2,2)$，$(3,3,3,1)$
の３つある。

解答オ：３

$a$が奇数のとき、$n$を整数として
$a=2n+1$
と表す。

このとき、$a^{2}-1$は
$a^{2}-1=(2n+1)^{2}-1$
$\phantom{ a^{2}-1 } =4n^{2}+4n+1-1$
$\phantom{ a^{2}-1 } =4n(n+1)$式Ｃ
と変形できる。

問題文にもあるけど、
$n(n+1)$
は偶数。

詳しく

$n$と$n+1$は連続する整数なので、どちらかは偶数、もう一方は奇数だ。
偶数$\times$奇数$=$偶数
だから、$n(n+1)$は偶数である。

なので、式Ｃは
$ a^{2}-1=4\times$偶数
となるから、
$a$が奇数のとき、$a^{2}-1$は必ず$8$の倍数になる。

解答カ：８

よって、$k$を整数として、$a$が奇数のとき、
$a^{2}-1=8k$
より
$a^{2}=8k+1$
とかけるから、$a^{2}$を$8$で割ると$1$余る。

また、$a$が偶数のとき、$n$を整数として
$a=2n$
と表す。

このとき、$a^{2}$は
$4n^{2}$式Ｄ
とかける。

これを$8$で割る。

以上より、$a$が偶数のとき、$a^{2}$を$8$で割ると$0$または$4$余る。

$a^{2},b^{2},c^{2},d^{2}$をそれぞれ$8$で割った余りを$r_{a},r_{b},r_{c},r_{d}$とすると、$k_{a},k_{b},k_{c},k_{d}$を整数として

	$a^{2}=8k_{a}+r_{a}$	式Ｅ
	$b^{2}=8k_{b}+r_{b}$
	$c^{2}=8k_{c}+r_{c}$
	$d^{2}=8k_{d}+r_{d}$

とかける。

(2)より、整数${}^{2}$を$8$で割った余りは

	$1$	（奇数のとき）
	$0$または$4$	（偶数のとき）

である。
なので、$r_{a},r_{b},r_{c},r_{d}$は、それぞれ$1,0,4$のどれかだ。

式Ｅを式①に代入すると、
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=(8k_{a}+r_{a})+(8k_{b}+r_{b})$
$\hspace{170px} +(8k_{c}+r_{c})+(8k_{d}+r_{d})$
$\phantom{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}=8(k_{a}+k_{b}+k_{c}+k_{d})$
$\hspace{170px} +\textcolor{red}{r_{a}+r_{b}+r_{c}+r_{d}}$
と表せる。

この式が$8$の倍数になるためには、赤い部分が$8$の倍数にならないといけない。

$1,0,4$を$4$つ加えて$8$の倍数にするには、
$0+0+0+0$ $4+4+0+0$ $4+4+4+4$ の３つの組合せしかない。
つまり、$r_{a},r_{b},r_{c},r_{d}$の中に１個でも$1$があると、$8$の倍数にはならない。

以上より、$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$が$8$の倍数なら、$a,b,c,d$はすべて偶数である。

解答キ：４

$m=224$のとき、式①は
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=224$式Ｆ
となる。

$224$は$8$の倍数だから、(3)より、$a,b,c,d$は全て偶数だ。
なので、$a',b',c',d'$を整数として

	$a=2a'$	式Ｇ
	$b=2b'$
	$c=2c'$
	$d=2d'$

とかける。

これを式Ｆに代入して、
$(2a')^{2}+(2b')^{2}+(2c')^{2}+(2d')^{2}=224$
より
$4a^{\prime 2}+4b^{\prime 2}+4c^{\prime 2}+4d^{\prime 2}=224$
$a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}+d^{\prime 2}=56$式Ｆ'
とかける。

$56$も$8$の倍数なので、同じことをもう１回しよう。

(3)より、$a',b',c',d'$は全て偶数だから、$a'',b'',c'',d''$を整数として

	$a'=2a''$	式Ｇ'
	$b'=2b''$
	$c'=2c''$
	$d'=2d''$

とかける。

これを式Ｆ'に代入して、
$(2a'')^{2}+(2b'')^{2}+(2c'')^{2}+(2d'')^{2}=56$
より
$4a^{\prime\prime 2}+4b^{\prime\prime 2}+4c^{\prime\prime 2}+4d^{\prime\prime 2}=56$
$a^{\prime\prime 2}+b^{\prime\prime 2}+c^{\prime\prime 2}+d^{\prime\prime 2}=14$式Ｆ''
とかける。

アイウエより、式Ｆ''を満たす$a^{\prime\prime}\geqq b^{\prime\prime}\geqq c^{\prime\prime}\geqq d^{\prime\prime}\geqq 0$である整数は

	$a''=3$
	$b''=2$
	$c''=1$
	$d''=0$

の１組だけ。

これを式Ｇ'，さらに式Ｇに代入して、式Ｆを満たす$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$である整数は

	$a=12$
	$b=8$
	$c=4$
	$d=0$

の１組だけである。

解答ク：１, ケ：２, コ：８, サ：４, シ：０

$896$を素因数分解すると
$896=2^{7}\cdot 7$
なので、$7$の倍数で$896$の約数である正の整数$m$は
$m=2^{0}\cdot 7$，$2^{1}\cdot 7$，$2^{2}\cdot 7$，$\cdots$，$2^{7}\cdot 7$式Ｈ
の８個ある。

(4)より、①を満たす整数の組の数は
$m=\left\{\begin{array}{l}14=2^{1}\cdot 7\\56=2^{3}\cdot 7\\224=2^{5}\cdot 7\end{array}\right.$
のときで等しくて、１組だった。

このことからさらに
$m=2^{7}\cdot 7$
のときも整数の組は１組であると考えられる。

また、オより
$m=28$
$\phantom{m}=2^{2} \cdot 7$
のとき、整数の組は３組なので、
$m=\left\{\begin{array}{l}2^{4}\cdot 7\\2^{6}\cdot 7\end{array}\right.$
のときも３組であるはず。

さらに、
$m=2^{0}\cdot 7$
$\phantom{m}=7$
のとき、①を満たす整数の組を(1)と同様に探すと
$(2,1,1,1)$
の１組だけ。

以上より、

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2^{\ell}\cdot 7$
を満たす$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$である整数は

	１組	（$\ell=0,1,3,5,7$のとき）
	３組	（$\ell=2,4,6$のとき）式Ｉ

であることが分かる。

よって、式Ｈの８個の$m$のうち、
$a,b,c,d$の組が３組あるのは、式Ｉより３個。

解答ス：３

そのうち最大のものは
$m=2^{6}\cdot 7=448$ である。

解答セ：４, ソ：４, タ：８