大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説

(1)

図A
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図A

$n=1$のとき、図形は$T_{1}$で、図Aのような形だ。

このときのタイルの配置の総数(敷き詰める方法が何通りあるか)を数える。
やみくもに考えるんじゃなくて、右下隅のタイルの置き方で場合分けしよう。

場合分け1
図B
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図B

図Bの赤のように 図形$T_{1}$の右下隅にタイルを縦置きにすると、残りの黄色い部分は図形$R_{1}$になる。
問題文より、$R_{1}$のタイルの配置の総数$r_{1}$は
$r_{1}=3$通り
なので、図Bのときのタイルの配置も
$3$通り式A
ある。

場合分け2
図C
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図C

図Cのオレンジのように 図形$T_{1}$の右下隅にタイルを横置きにすると、残りの部分のタイルの配置は、グレーの
$1$通り式B
しかない。

以上より、図形$T_{1}$の配置の総数$t_{1}$は、ふたつの場合分けの式Aと式Bをたした
$t_{1}=4$通り
である。

解答ク:4


図形が$T_{n}$のときも、$T_{1}$と同様に考えよう。
問題文中の図が大きなヒントになっているので、図を見ながら考えてゆけばよい。

場合分け1
図D
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図D

図Dの赤のように 図形$T_{n}$の右下隅にタイルを縦置きにすると、残りの黄色い部分は図形$R_{n}$になる。

図形$R_{n}$のタイルの配置は
$r_{n}$通り
あるので、図Dのときのタイルの配置も
$r_{n}$通り式C
ある。

場合分け2
図E
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図E

図Eのオレンジのように 図形$T_{n}$の右下隅にタイルを横置きにすると、グレーの部分には図のようにタイルを置くしかない。
このとき、残りの黄色い部分は図形$T_{n-1}$になる。

図形$T_{n-1}$のタイルの配置は
$t_{n-1}$通り
あるので、図Eの配置も
$t_{n-1}$通り式D
ある。

以上より、図形$T_{n}$の配置の総数$t_{n}$は、ふたつの場合分けの式Cと式Dをたした
$t_{n}=r_{n}+t_{n-1}$通り式E
である。

解答ケ:1, コ:1


この式Eを使って$t_{2}$を求める。

式Eに$n=2$を代入すると
$t_{2}=r_{2}+t_{1}$式E'
とかける。

いま
問題文より、$r_{2}=11$ より、$t_{1}=4$ なので、式E'は
$t_{2}=11+4$
$\phantom{ t_{2} } =15$通り
となる。

解答サ:1, シ:5


$R_{n}$についても同じように考えるんだけど、今度は場合分けがひとつ増える。

場合分け1
図F
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図F

図Fのオレンジのように 図形$R_{n}$の右下隅にタイルを横置きにすると、斜線部分に載るタイルの置き方は縦横2通りある。
この2通りで、さらに場合分けをする。

場合分け1a
図G
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図G

図Gの緑のように 斜線部分にタイルを横置きにすると、グレーの部分も図のように横にタイルを置くしかない。
このとき、残りの黄色い部分は図形$R_{n-1}$になる。

図形$R_{n-1}$のタイルの配置は
$r_{n-1}$通り
あるので、図Gの配置も
$r_{n-1}$通り式F
ある。

場合分け1b
図H
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図H

図Hの青のように斜線部分にタイルを縦置きにすると、残りの黄色い部分は図形$T_{n-1}$になる。上下ひっくり返っているけれど。

図形$T_{n-1}$のタイルの配置は
$t_{n-1}$通り
あるので、図Hの配置も
$t_{n-1}$通り式G
ある。

場合分け2
図I
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第4問 [2] 解説図I

図Iの赤のように 図形$R_{n}$の右下隅にタイルを縦置きにすると、グレーの部分には図のように横にタイルを置くしかない。
このとき、残りの黄色い部分は図形$T_{n-1}$になる。

図形$T_{n-1}$のタイルの配置は
$t_{n-1}$通り
あるので、図Iの配置も
$t_{n-1}$通り式H
ある。

以上より、図形$R_{n}$の配置の総数$r_{n}$は、みっつの場合分けの式F,式G,式Hをたした
$r_{n}=r_{n-1}+t_{n-1}+t_{n-1}$
$\phantom{ r_{n} } =r_{n-1}+2t_{n-1}$式I
通りである。

解答ス:1, セ:2

(2)

縦の長さが$3$,横の長さが$6$の長方形は、(1)の$R_{3}$にあたるから、
ソタ$=r_{3}$
縦の長さが$3$,横の長さが$8$の長方形は、(1)の$R_{4}$にあたるから、
チツテ$=r_{4}$
である。

ということは、(1)で求めた

$t_{n}=r_{n}+t_{n-1}$式E
$r_{n}=r_{n-1}+2t_{n-1}$式I

を使って一般項$r_{n}$を求めればいいんだ.....と考えてはいけない。
大変な作業になってしまう。

ちょっと振り返ってみると、
問題文中にあるように、$r_{2}=11$ サシより、$t_{2}=15$ であることが分かっている。
これを使うと、$r_{3}$,$r_{4}$は簡単に求められる。


式Iに$n=3$を代入すると、
$r_{3}=r_{2}+2t_{2}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$r_{3}=11+2\cdot 15$
$\phantom{ r_{3} } =41$
である。

解答ソ:4, タ:1

また、式Iに$n=4$を代入すると、
$r_{4}=r_{3}+2t_{3}$式J
とかける。

この式の$t_{3}$は値が分からないので、式Eをおう。
式Eに$n=3$を代入して
$t_{3}=r_{3}+t_{2}$
とする。

これを式Jに代入すると
$r_{4}=r_{3}+2(r_{3}+t_{2})$
$\phantom{ r_{4} } =3r_{3}+2t_{2}$
となるから、それぞれの値を代入して、
$r_{4}=3\cdot 41+2\cdot 15$
より
$r_{4}=153$
である。

解答チ:1, ツ:5, テ:3