大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説

サ~セ

最初に、$y=g(x)$のグラフを描こう。

$g(x)$の式の絶対値の部分は
$|x|=\left\{\begin{array}{ll} -x & (x \lt 0)\\ x & (0\leqq x) \end{array}\right.$
なので、
$g(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x(x+1) & (x \lt 0)\\ x(x+1) & (0\leqq x) \end{array}\right.$
とかける。

よって、$y=g(x)$は
$y=\left\{\begin{array}{ll} -x(x+1) & (x \lt 0)\\ x(x+1) & (0\leqq x) \end{array}\right.$式A
だ。

図A
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説図A

この$y=-x(x+1)$も$y=x(x+1)$も
$(-1,0)$,$(0,0)$
で$x$軸と交わる放物線で、片方は上に凸、もう片方は下に凸。
なので、それぞれのグラフは図Aの青と緑で表した放物線だ。
青と緑のグラフは$x$軸に関して対称である。

式Aより、$y=g(x)$は
青い放物線の$x \lt 0$の部分 緑の放物線の$0\leqq x$の部分 なので、グラフは図Aの実線部分だ。


点$\mathrm{P}$における$y=g(x)$の接線を考える。

点$\mathrm{P}$の$x$座標は$-1$なので、この部分での$g(x)$の式は
$g(x)=-x(x+1)$
$\phantom{ g(x) } =-x^{2}-x$式B
だ。

なので、点$\mathrm{P}$における$y=g(x)$の接線の傾きは、式Bを微分した
$g'(x)=-2x-1$

$x=-1$
を代入した、
$g'(-1)=-2\cdot(-1)-1$
$\phantom{ g'(-1) } =1$
である。

解答サ:1

図B
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説図B

この接線は、図Bの緑の直線。
なので、点$\mathrm{P}$を通り、傾き$c$が
$0 \lt c \lt 1$
の直線は、例えば図Bの赤い直線になる。

図Bより、赤い直線は、$y=g(x)$と3点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$で交わる。


次は、点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の$x$座標だ。

点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の$x$座標は、$g(x)$と式Bの赤い直線$\ell$の連立方程式の解である。

$g(x)$の式は、
$g(x)=|x|(x+1)$
直線$\ell$の式は、
点$\mathrm{P}(-1,0)$を通る傾き$c$の直線なので、
$y-0=c\{x-(-1)\}$
より
$y=c(x+1)$

以上より、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=|x|(x+1)\\
y=c(x+1)
\end{array}\right.$式C
がつくれる。
これを解く。

式Cより、
$|x|(x+1)=c(x+1)$
途中式 なので、
$|x|(x+1)-c(x+1)=0$
$(|x|-c)(x+1)=0$
より
$|x|-c=0$,$x+1=0$
$x=\pm c$,$-1$
となる。

このうち、$-1$は点$\mathrm{P}$の$x$座標。
また、$0 \lt c$なので、
$-c$が点$\mathrm{Q}$の$x$座標 $c$が点$\mathrm{R}$の$x$座標 である。

解答シ:-, ス:c, セ:c

ソ~テ

図C
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説図C

最後に、$y=g(x)$と、$0 \lt c \lt 1$のときの$\ell$に囲まれた面積を求める。

いま、グラフは図Cのような状況だ。

まず、$S$(オレンジの面積)だけど、これには$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える。

ここで$\displaystyle \frac{1}{6}$公式の復習をしておこう。

復習

図D
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説図D

図Dのそれぞれのグラフの
赤い線の式を 緑の線の式を とする。

このとき、図Dの黄色い部分の面積は、
黄=$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}($$-$$)dx$
とかける。

$-$は必ず二次式になるので、実数$a$を用いて、この式はさらに
黄=$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(\textcolor{red}{ax^{2} \cdots} )dx$式D
   =$a\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(\textcolor{red}{x^{2} \cdots} )dx$
   =$a\displaystyle \left\{-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\right\}$
と表せる。

式中の赤い部分'で $x^{2}$の項以外を省略しているのは、計算結果に関係がないから。

復習より、$S$は、
$ S=\displaystyle \int_{-1}^{-c}(g(x)-\ell$の式$)dx$
$\phantom{ S\displaystyle } \displaystyle =\int_{-1}^{-c}\{-x(x+1)-c(x+1)\}dx$
途中式 $\phantom{ S } \displaystyle =\int_{-1}^{-c}(-x^{2} \cdots )dx$
$\phantom{ S } \displaystyle =-\int_{-1}^{-c}(x^{2} \cdots )dx$
$\phantom{ S } \displaystyle =-\left[-\frac{1}{6}\{(-c)-(-1)\}^{3}\right]$
となるので、
$S=\displaystyle \frac{(-c+1)^{3}}{6}$
$\phantom{ S\displaystyle } \displaystyle =\frac{-c^{3}+3c^{2}-3c+1}{6}$
である。

解答ソ:-, タ:3, チ:3, ツ:6


次は、図Cの青い面積$T$だ。
これについては、ちょっと考えて楽をしよう。

アドバイス

さっきの$\displaystyle \frac{1}{6}$公式の復習を思い出すと、計算に使うのは、式Dの
$a$:積分する式の$x^{2}$の係数 $\alpha-\beta$:積分範囲の幅 だけだった。

つまり、積分する式の$x^{2}$の係数と積分範囲の幅が同じであれば、積分結果は等しい。
例えば、図Eのオレンジの面積はすべて等しい。

図E
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説図E

図Cの$T$の部分を拡大すると、図Fができる。

図F
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説図F

求める$T$、つまり図Fの青い部分の面積は、
青$=$赤い三角形$-$黄$+$斜線部
だけど、アドバイスより 黄と斜線部の面積は等しいから、
青$=$赤い三角形
であることが分かる。

詳しく
図G
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説図G

図Gで、アドバイスより 黄とオレンジの面積は等しい。
青と緑の放物線は$x$軸に関して対称なので、オレンジと斜線部の面積は等しい。
なので、黄と斜線部の面積は等しい。

以上の考え方で、青い部分の面積の代わりに 赤い三角形の面積を求める。

$\ell$の式は、
$y=c(x+1)$
$\phantom{ y } =cx+c$
なので、$y$切片は$c$である。

よって、赤い三角形を$y$軸で分割すると、
底辺が$c$ 高さが$c$ の三角形が2つできる。

赤い三角形の面積は、この2つの三角形の面積の和なので、
赤い三角形$=2\displaystyle \times\frac{1}{2}\cdot c\cdot c$
              $=c^{2}$式E
だから、
$T=c^{2}$
である。

解答テ:2

別解1

上の解法のポイントは「黄色の面積$=$斜線部の面積」なんだけど、これに気付かないと、仕方がないから積分して計算しないといけない。
その場合は次のような解き方になる。


図Fにおいて、
$T=$赤い三角形$-$黄$+$斜線部式F
なので、この方針で解く。

式Eより、
赤い三角形$=c^{2}$
だった。

黄の面積は、
黄$=\displaystyle \int_{-c}^{0}(g(x)-$直線$\mathrm{OQ})dx$
   $=\displaystyle \int_{-c}^{0}\{-x(x+1)-$直線$\mathrm{OQ}\}dx$
   $=\displaystyle \int_{-c}^{0}(-x^{2} \cdots )dx$
   $=-\displaystyle \int_{-c}^{0}(x^{2} \cdots )dx$式G
だけど、$\cdots$ 部分は結果に影響がないので計算しない。
つまり、直線$\mathrm{OQ}$の式は求めなくていい。

$\displaystyle \frac{1}{6}$公式より、式Gは
黄$=\displaystyle -\left[-\frac{1}{6}\{0-(-c)\}^{3}\right]$
   $=\displaystyle \frac{c^{3}}{6}$
となる。

同様に、斜線部の面積は、
斜線$=\displaystyle \int_{0}^{c}($直線$\mathrm{OR}-g(x))dx$
      $=\displaystyle \int_{0}^{c}\{$直線$\mathrm{OR}-x(x+1)\}dx$
      $=\displaystyle \int_{0}^{c}(-x^{2} \cdots )dx$
      $=-\displaystyle \int_{0}^{c}(x^{2} \cdots )dx$
に$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を使って、
斜線$=\displaystyle -\left\{-\frac{1}{6}(c-0)^{3}\right\}$
      $=\displaystyle \frac{c^{3}}{6}$
である。


以上を式Fに代入して、$T$は
$T=c^{2}-\displaystyle \frac{c^{3}}{6}+\frac{c^{3}}{6}$
$\phantom{ T } =c^{2}$
となる。

解答テ:2

別解2

$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を使う方法にも気づかなければ、直接求めるしかない。
このときの計算を一応載せたけれど、時間もかかるし、ミスしやすくなるし、本当はこんな解き方をしてはいけない。


$y$軸を境に$g(x)$の式が変わるので、$T$を$x \lt 0$の部分と、$0\leqq x$の部分に分けて計算する。

$x \lt 0$の部分では
$g(x)=-x(x+1)$
なので、この部分の面積を$T_{1}$とすると、
$ T_{1}=\displaystyle \int_{-c}^{0}(\ell$の式$-g(x))dx$
$\phantom{ T_{1} } \displaystyle =\int_{-c}^{0}[c(x+1)-\{-x(x+1)\}]dx$
途中式 $\phantom{ T_{1} } \displaystyle =\int_{-c}^{0}\{x^{2}+(c+1)x+c\}dx$
$\phantom{ T_{1} } \displaystyle =\left[\frac{1}{3}x^{3}+\frac{c+1}{2}x^{2}+cx\right]_{-c}^{0}$
$\phantom{ T_{1} } \displaystyle =0-\left\{\frac{1}{3}(-c)^{3}+\frac{c+1}{2}(-c)^{2}+c\cdot(-c)\right\}$
$\phantom{ T_{1} } \displaystyle =\frac{c^{3}}{3}-\frac{c^{3}}{2}-\frac{c^{2}}{2}+c^{2}$
$\phantom{ T_{1} } \displaystyle =-\frac{c^{3}}{6}+\frac{c^{2}}{2}$
とかける。

また、$0\leqq x$の部分では
$g(x)=x(x+1)$
なので、この部分の面積を$T_{2}$とすると、
$ T_{2}=\displaystyle \int_{0}^{c}(\ell$の式$-g(x))dx$
$\phantom{ T_{2} } \displaystyle =\int_{0}^{c}\{c(x+1)-x(x+1)\}dx$
途中式 $\phantom{ T_{2} } \displaystyle =\int_{0}^{c}\{-x^{2}+(c-1)x+c\}dx$
$\phantom{ T_{2} } \displaystyle =\left[-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{c-1}{2}x^{2}+cx\right]_{0}^{c}$
$\phantom{ T_{2} } \displaystyle =\left(-\frac{1}{3}c^{3}+\frac{c-1}{2}c^{2}+c\cdot c\right)-0$
$\phantom{ T_{2} } \displaystyle =-\frac{1}{3}c^{3}+\frac{1}{2}c^{3}-\frac{1}{2}c^{2}+c^{2}$
$\phantom{ T_{2} } \displaystyle =\frac{c^{3}}{6}+\frac{c^{2}}{2}$
となる。

よって、求める$T$は、この二つの面積の和の
$T=-\displaystyle \frac{c^{3}}{6}+\frac{c^{2}}{2}+\frac{c^{3}}{6}+\frac{c^{2}}{2}$
$\phantom{ T } =c^{2}$
である。

解答テ:2