最初は、図Ａのような試行をしたとき、箱の中の球のうち少なくとも１個はである確率から。

問題文中に「少なくとも」とあるので、余事象を考えよう。

「少なくとも１個が」の余事象は、「全部」だ。
なので、両方の袋からが取り出される確率を求めて、$1$から引く。

袋Aからが取り出される確率は $\dfrac{1}{3}$
袋Bからが取り出される確率は $\dfrac{1}{4}$

なので、余事象の「全部」の確率は
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
となる。

求める確率は、これを全事象の$1$から引いて、
$1-\displaystyle \frac{1}{12}=\frac{11}{12}$
である。

解答ア：１, イ：１, ウ：１, エ：２

次は、図Ｂのように、箱からが取り出される確率だ。

箱からが取り出される場合には パターンＡ 中身がの箱からが取り出される パターンＢ 中身がの箱からが取り出される のふたつのパターンが考えられる。

このそれぞれの確率を求めて、和を求める方向で解こう。

以上より、箱からが取り出される確率は、両方のパターンの確率をたして、
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{24}=\frac{17}{24}$
となる。

解答オ：１, カ：７, キ：２, ク：４

ここで条件付き確率の復習をしておくと、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$，事象$A$と$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$式Ｂ
とかける

この問題の場合、箱から取り出される球が、
である場合が事象$A$ である場合が事象$B$ に当たる。

なので、事象$B$が起こるときは、必ず事象$A$が起こっている。
ベン図で表すと、図Ｃのような感じだ。

このことから
$P(A\cap B)=P(B)$
といえるので、復習の式Ｂより、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(B)}{P(A)}$式Ｃ
と表せる。

式Ｃのうち、$P(A)$はオカキクで求めた
$\displaystyle \frac{17}{24}$
にあたる。

$P(B)$は図Ｄのように
袋Ｂからが取り出される① かつ
箱からが取り出される② ときの確率だ。

①の確率は$\displaystyle \frac{3}{4}$
②の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$

なので、$P(B)$は
$P(B)=\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}$
となる。

以上を式Ｃに代入して、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は
$$ \begin{align} P_{A}(B)&=\frac{\cfrac{3}{4}\cdot\cfrac{1}{2}}{\cfrac{17}{24}}\\ &=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{24}{17}\\ &=\frac{9}{17} \end{align} $$ である。

解答ケ：９, コ：１, サ：７

まず、箱の中の球がとなる確率から。

箱の中の球がになるのは、
両方の袋からが取り出される 場合だけ。

袋Ａからが取り出される確率は $\dfrac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$ 袋Ｂからが取り出される確率は $\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、箱の中の球がである確率は、
$$ \begin{align} &\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\times\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}\\ &\qquad=\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\times\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}\\ &\qquad=\frac{2}{\cfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}\\ &\qquad=\frac{1}{3} \end{align} $$ である。

解答シ：１, ス：３

次は、箱の中の球がとなる確率。

箱の中の球のすべての場合を考えると、
パターンＡ パターンＢ パターンＣ の３通りしかない。

なので、余事象の考え方を使って、パターンＡとパターンＣの確率をたして$1$から引けば、問われているパターンＢの確率が求められる。

ちょっと計算は面倒になるけど、余事象を使わない解法を別解として載せておいた。

このそれぞれの確率を求めて、和を求める。

以上より、箱からが取り出される確率は、この３つのパターンの確率をたして、
$$ \begin{align} &\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}\\ &\qquad=\frac{2\cdot 3+3\cdot 3+2}{2\cdot 3\cdot 6}\\ &\qquad=\frac{17}{2\cdot 3\cdot 6}\\ &\qquad=\frac{17}{36} \end{align} $$ である。

解答タ：１, チ：７, ツ：３, テ：６

最後は、また条件付き確率だ。

今回は、箱から取り出される球が、
である場合が復習の事象$A$ である場合が事象$A \cap B$ にあたる。

なので、復習の式Ｂの
タチツテより、$P(A)=\displaystyle \frac{17}{36}$ $P(A\cap B)$は、図Ｇのようになる確率 になる。

ということで、図Ｇのようになる確率$P(A\cap B)$を求めよう。

よって、$P(A\cap B)$は、タチツテから式Ｅ$+$式Ｆを引いた
$$ \begin{align} P(A \cap B)&=\frac{17}{36}-\left(\frac{1}{3\cdot 6}+\frac{3}{6\cdot 6}\right)\\ &=\frac{17-(2+3)}{36}\\ &=\frac{12}{36}\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ となる。

上の解説では、余事象の考え方を使って$P(A\cap B)$を求めた。
これが思いつかない場合、真っ正直に場合分けして解くことになる。
せっかくだから次の別解で解説しておくけど、話もややこしいし、お勧めはしない。

両方の袋から球を取り出すすべてのパターンを表にすると、箱の中の球は表Ｈのようになる。

表Ｈのマスは$12$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち「少なくとも１個は」に当てはまるのは、オレンジの$11$マス。
なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{11}{12}$
である。

解答ア：１, イ：１, ウ：１, エ：２

箱の中の球が表Ｈの場合、そこから球をひとつ取り出すと、取り出された球は表Ｉのような感じだ。
と言っても、表Ｈのそれぞれのマスの真ん中に線を引いただけだけど。

表Ｉのマスは$24$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち「取りだした球が」にあてはまるのは、オレンジの$17$マス。
なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{17}{24}$
である。

解答オ：１, カ：７, キ：２, ク：４

ケコサでは、袋Ｂから出たを区別しないといけない。
なので、表Ｉの袋Ｂのに「B」と書き込むと、表Ｊができる。

ここで、条件付き確率の復習をしておこう。

復習

事象$A$が起こったときに事象$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$とは、$A$が起こった場合を全事象と考えて、その中で$B$が起こる確率のことである。

なので、この問題の場合は、
箱から取り出されたのがである場合を全事象と考えて 箱からが取り出される確率を考える ということになる。

表Ｊより、
が取り出される場合を全ての事象と考えるので、全ての事象はグレーのマス以外の$17$マス。
箱からが取り出されるのは、オレンジの$9$マス。
なので、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{9}{17}$
である。

解答ケ：９, コ：１, サ：７

今度は、それぞれの袋から球を２個ずつ取り出す。

袋Ａから球を取り出す方法は、

の３通り。

詳しく

「いや、との２通りじゃないの？」って思う人もいると思う。

２通りにすると、
の確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ の確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$ になって、確率がそろわない。
確率がそろわないと、これをもとに表を作った場合、マスの確率がばらばらになって面倒だ。

なので、袋Ａから球を取り出す方法は，，の３通りで、確率はすべて$\displaystyle \frac{1}{3}$と考える。

また、袋Ｂから球を取り出す方法は、

の６通りだけど、今回はとの確率が$\frac{3}{6}$ずつで等しいから、
との２通り と考えよう。

以上より、両方の袋から球を取り出すすべてのパターンは、表Ｍのようになる。

表Ｍのマスは$6$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち「ちょうど２個が」にあてはまるのは、紫の$2$マス。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
である。

解答シ：１, ス：３

また、「ちょうど３個が」にあてはまるのは、緑の$3$マス。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
となる。

解答セ：１, ソ：２

表Ｍの白いマスを考える。
このとき、箱の中の球は

なので、ここから２個取り出す方法は

より６通りある。

詳しく

「いやいや、の１通りでしょ」って思う人もいると思うけど、今回も確率をそろえるために６通りと考える。

同様に、表Ｍの緑のマスの場合、箱から２個取り出す方法は

の６通り。

紫のマスの場合も

の６通りある。

この表Ｍ～表Ｏをひとつにまとめる。
具体的には、
表Ｎを、表Ｍの白いマスに 表Ｏを、表Ｍの緑のマスに 表Ｐを、表Ｍの紫のマスに 入れ込んでしまう。

すると、表Ｑができる。

表Ｑのマスは$36$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち、問われている「箱から取り出された球が」なのは、オレンジのマスの$17$個。

なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{17}{36}$
である。

解答タ：１, チ：７, ツ：３, テ：６

トナニヌでは、また袋Ｂから出たを区別しないといけない。
なので、ケコサのときと同じように 表Ｑの袋Ｂのに「Ｂ」と書き込むと、表Ｒができる。

表Ｒを使って条件付き確率を求めるんだけど、復習より、この問題では
箱から取り出されたのがである場合を全事象と考えて 箱からが取り出される確率を考える ということになる。

表Ｒより、
が取り出される場合を全ての事象と考えるので、全ての事象はグレーのマス以外の$17$マス。
箱からが取り出されるのは、オレンジの$12$マス。

なので、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{12}{17}$
である。

解答ト：１, ナ：２, ニ：１, ヌ：７