大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅠA 第3問 解説

はじめに

この問題では、
計算による解法 表による解法 のふたつを解説した。
(2)(i)までは表による解法が楽だと思うけど、(2)(ii)はどちらの解法もあまり差がないかも。

また、以下の解説では
赤球を[R] 袋Aの赤球を[Ra] 袋Bの赤球を[Rb] 白球を[W] と表すことにする。

(1) 計算による解法

(i)

図A
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠA第3問 解説図A

最初は、図Aのような試行をしたとき、箱の中の球のうち少なくとも1個は[R]である確率から。

問題文中に「少なくとも」とあるので、余事象を考えよう。

「少なくとも1個が[R]」の余事象は、「全部[W]」だ。
なので、両方の袋から[W]が取り出される確率を求めて、$1$から引く。

袋Aから[W]が取り出される確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$
袋Bから[W]が取り出される確率は $\displaystyle \frac{1}{4}$

なので、余事象の「全部[W]」の確率は
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
となる。

求める確率は、これを全事象の$1$から引いて、
$1-\displaystyle \frac{1}{12}=\frac{11}{12}$
である。

解答ア:1, イ:1, ウ:1, エ:2

(ii) オカキク

図B
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠA第3問 解説図B

次は、図Bのように、箱から[R]が取り出される確率だ。

箱から[R]が取り出される場合には パターンA 中身が[R][R]の箱から[R]が取り出される パターンB 中身が[R][W]の箱から[R]が取り出される のふたつのパターンが考えられる。

このそれぞれの確率を求めて、和を求める方向で解こう。


パターンA

箱の中が[R][R]になるのは、両方の袋から[R]が取り出されたとき。

袋Aから[R]が取り出される確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$
袋Bから[R]が取り出される確率は$\displaystyle \frac{3}{4}$

なので、箱の中が[R][R]になる確率は
$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$式A

[R][R]の箱から取り出される球は必ず[R]なので、確率は$1$

よって、パターンAの確率は、
$\displaystyle \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$

パターンB

箱の中が[R][W]になる確率から。

アイウエより、箱の中に少なくとも1個[R]がある確率、つまり、箱の中が[R][R]または[R][W]になる確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{11}{12}$
式Aより、箱の中が[R][R]になる確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{1}{2}$

なので、箱の中が[R][W]になる確率は、このふたつの値を引き算して、
$\displaystyle \frac{11}{12}-\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$

[R][W]の箱から[R]が取り出される確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$

よって、パターンBの確率は、
$\displaystyle \frac{5}{12}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{24}$

以上より、箱から[R]が取り出される確率は、両方のパターンの確率をたして、
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{24}=\frac{17}{24}$
となる。

解答オ:1, カ:7, キ:2, ク:4

(ii) ケコサ

ここで条件付き確率の復習をしておくと、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$,事象$A$と$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$式B
とかける

この問題の場合、箱から取り出される球が、
[R]である場合が事象$A$ [Rb]である場合が事象$B$ に当たる。

なので、事象$B$が起こるときは、必ず事象$A$が起こっている。
ベン図で表すと、図Cのような感じだ。

図C
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠA第3問 解説図C

このことから
$P(A\cap B)=P(B)$
といえるので、復習の式Bより、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(B)}{P(A)}$式C
と表せる。


式Cのうち、$P(A)$はオカキクで求めた
$\displaystyle \frac{17}{24}$
にあたる。

図D
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠA第3問 解説図D

$P(B)$は図Dのように
袋Bから[Rb]が取り出される かつ
箱から[Rb]が取り出される ときの確率だ。

①の確率は$\displaystyle \frac{3}{4}$
②の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$

なので、$P(B)$は
$P(B)=\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}$
となる。

以上を式Cに代入して、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{17}{24}}$
$\phantom{ P_{A}(B)\displaystyle } \displaystyle =\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{24}{17}$
$\phantom{ P_{A}(B)\displaystyle } \displaystyle =\frac{9}{17}$
である。

解答ケ:9, コ:1, サ:7

(2) 計算による解法

(i) シス

図E
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠA第3問 解説図E

今度は、それぞれの袋から球を2個ずつ取り出す、図Eのような試行をしたときの確率だ。


まず、箱の中の球が[R][R][W][W]となる確率から。

箱の中の球が[R][R][W][W]になるのは、
両方の袋から[R][W]が取り出される 場合だけ。

袋Aから[R][W]が取り出される確率は$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[R][W]が取り出される確率は$\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、箱の中の球が[R][R][W][W]である確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\times\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$ $=\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\times\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$
$=\displaystyle \frac{2}{\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}$
$=\displaystyle \frac{1}{3}$
である。

解答シ:1, ス:3

(i) セソ

次は、箱の中の球が[R][R][R][W]となる確率。

箱の中の球のすべての場合を考えると、
パターンA [R][R][R][R] パターンB [R][R][R][W] パターンC [R][R][W][W] の3通りしかない。

なので、余事象の考え方を使って、パターンAとパターンCの確率をたして$1$から引けば、問われているパターンBの確率が求められる。


パターンA

パターンAになるのは、両方の袋から[R][R]が取り出される 場合だけ。

袋Aから[R][R]が取り出される確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[R][R]が取り出される確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、パターンAになる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\cdot\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$
$\hspace{108px} \displaystyle =\frac{1}{6}$式D

パターンC

パターンCになる確率は、で求めたように
$\displaystyle \frac{1}{3}$

よって、求めるパターンBの確率は、
$1-\displaystyle \left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}$
である。

解答セ:1, ソ:2


ちょっと計算は面倒になるけど、余事象を使わない解法を別解として載せておいた。
グレーの部分をタップ/クリックすると見られるので、必要に応じて参照してほしい。

別解

箱の中の球が[R][R][R][W]になるのは

パターンA 袋Aから[R][W],袋Bから[R][R]が取り出される パターンB 袋Aから[R][R],袋Bから[R][W]が取り出される

の2つのパターン。

このそれぞれの確率を求めて、和を求めるわけだ。


パターンA
袋Aから[R][W]が取り出される確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[R][R]が取り出される確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、パターンAになる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\times\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

パターンB
袋Aから[R][R]が取り出される確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[R][W]が取り出される確率は
$\hspace{30px} \displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、パターンBになる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\times\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\times\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$
$\displaystyle \phantom{\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\times\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}}= \frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

以上より、箱の中の球が[R][R][R][W]になる確率は、両方のパターンの確率をたして、
$\displaystyle \frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}+\frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{3}{\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}$
$\displaystyle \phantom{\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}+\frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}}=\frac{1}{2}$
となる。

解答セ:1, ソ:2

(ii) タチツテ

図F
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠA第3問 解説図F

次は、図Fのように、箱から[R][R]が取り出される確率だ。

箱から[R][R]が取り出される場合には

パターンA 箱の中が[R][R][R][R]で、そこから[R][R]が取り出される パターンB 箱の中が[R][R][R][W]で、そこから[R][R]が取り出される パターンC 箱の中が[R][R][W][W]で、そこから[R][R]が取り出される

の3つのパターンが考えられる。

このそれぞれの確率を求めて、和を求める。


パターンA
箱の中が[R][R][R][R]になる確率は、
       式Dより$\displaystyle \frac{1}{6}$
[R][R][R][R]の箱から取り出される球は、
       必ず[R][R]

なので、パターンAの確率は、
$\displaystyle \frac{1}{6}\times 1$

パターンB
箱の中が[R][R][R][W]になる確率は、
       より$\displaystyle \frac{1}{2}$
[R][R][R][W]の箱から[R][R]が取り出される確率は、
       $\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{2}$

なので、パターンBの確率は、
$\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$

パターンC
箱の中が箱の中が[R][R][W][W]になる確率は、
       より$\displaystyle \frac{1}{3}$
[R][R][W][W]の箱から[R][R]が取り出される確率は、
        $\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{6}$

なので、パターンCの確率は、
$\displaystyle \frac{1}{3}\times\frac{1}{6}$

以上より、箱から[R][R]が取り出される確率は、この3つのパターンの確率をたして、
$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}$
$=\displaystyle \frac{2\cdot 3+3\cdot 3+2}{2\cdot 3\cdot 6}$
$=\displaystyle \frac{17}{2\cdot 3\cdot 6}$
$=\displaystyle \frac{17}{36}$
である。

解答タ:1, チ:7, ツ:3, テ:6

(ii) トナニヌ

最後は、また条件付き確率だ。

今回は、箱から取り出される球が、
[R][R]である場合が復習の事象$A$ [R][Rb]である場合が事象$A \cap B$ にあたる。

なので、復習の式Bの
タチツテより、$P(A)=\displaystyle \frac{17}{36}$ $P(A\cap B)$は、図Gのようになる確率 になる。

図G
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅠA第3問 解説図G

ということで、図Gのようになる確率$P(A\cap B)$を求めよう。


箱から[R][R]が取り出される確率はタチツテで求めたけれど、これには
パターンA 取り出されたのが[Ra][Ra] パターンB 取り出されたのが[Ra][Rb] パターンC 取り出されたのが[Rb][Rb] の3つのパターンが含まれている。

なので、タチツテからパターンAとパターンCの確率を引けば、パターンBの確率、つまり
$P(A\cap B)$
が分かる。
この考え方で解く。


パターンA

パターンAは、
袋Aから[Ra][Ra]が取り出される かつ
箱から[Ra][Ra]が取り出される 場合。

①の確率は$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
②の確率は$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、パターンAの確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\times\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{3\cdot 6}$式E

パターンC

パターンCは
袋Bから[Rb][Rb]が取り出される かつ
箱から[Rb][Rb]が取り出される 場合。

③の確率は$\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$
④の確率は$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、パターンCの確率は
$\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}\times\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{3}{6\cdot 6}$式F

よって、$P(A\cap B)$は、タチツテから式E$+$式Fを引いた
$P(A\displaystyle \cap B)=\frac{17}{36}-\left(\frac{1}{3\cdot 6}+\frac{3}{6\cdot 6}\right)$
$\phantom{ P(A\displaystyle \cap B)} \displaystyle =\frac{17-(2+3)}{36}$
$\phantom{ P(A\displaystyle \cap B)} \displaystyle =\frac{12}{36}$式G
となる。


以上より、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は、式Bに式Gとタチツテを代入して、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{\frac{12}{36}}{\frac{17}{36}}$
$\phantom{ P_{A}(B)\displaystyle } \displaystyle =\frac{12}{17}$
である。

解答ト:1, ナ:2, ニ:1, ヌ:7


上の解説では、余事象の考え方を使って$P(A\cap B)$を求めた。
これが思いつかない場合、真っ正直に場合分けして解くことになる。
せっかくだから次の別解で解説しておくけど、話もややこしいし、お勧めはしない。

別解

箱から[Ra][Rb]が取り出されるのは、

パターンA [Ra][Ra][Rb][Rb]の箱から[Ra][Rb]が取り出される パターンB [Ra][Ra][Rb][W]の箱から[Ra][Rb]が取り出される パターンC [Ra][W][Rb][Rb]の箱から[Ra][Rb]が取り出される パターンD [Ra][W][Rb][W]の箱から[Ra][Rb]が取り出される

の4つのパターンある。
この4パターンの確率を求めて、たし算だ。


パターンA
箱の中が[Ra][Ra][Rb][Rb]になる確率
袋Aから[Ra][Ra]が取り出される確率は
        $\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[Rb][Rb]が取り出される確率は
       $\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、箱の中が[Ra][Ra][Rb][Rb]になる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\cdot\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

[Ra][Ra][Rb][Rb]の箱から[Ra][Rb]が取り出される確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{4}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

よって、パターンAの確率は
$\displaystyle \frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}\cdot\frac{4}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{4}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

パターンB
箱の中が[Ra][Ra][Rb][W]になる確率
袋Aから[Ra][Ra]が取り出される確率は
       $\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[Rb][W]が取り出される確率は
       $\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、箱の中が[Ra][Ra][Rb][W]になる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\cdot\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

[Ra][Ra][Rb][W]の箱から[Ra][Rb]が取り出される確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

よって、パターンBの確率は
$\displaystyle \frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}\cdot\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

パターンC

箱の中が[Ra][W][Rb][Rb]になる確率

袋Aから[Ra][W]が取り出される確率は
       $\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[Rb][Rb]が取り出される確率は
       $\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、箱の中が[Ra][W][Rb][Rb]になる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\cdot\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

[Ra][W][Rb][Rb]の箱から[Ra][Rb]が取り出される確率は
$\displaystyle \frac{{}_{1}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

よって、パターンCの確率は
$\displaystyle \frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}\cdot\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{4}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

パターンD

箱の中が[Ra][W][Rb][W]になる確率

袋Aから[Ra][W]が取り出される確率は
       $\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}$
袋Bから[Rb][W]が取り出される確率は
       $\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}} =\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

なので、箱の中が[Ra][W][Rb][W]になる確率は
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}}\cdot\frac{\cancel{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

[Ra][W][Rb][W]の箱から[Ra][Rb]が取り出される確率は
$\displaystyle \frac{{}_{1}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{1}\mathrm{C}_{1}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

よって、パターンDの確率は
$\displaystyle \frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}\cdot\frac{1}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}$

以上より、箱から[Ra][Rb]が取り出される確率は、4つのパターンの確率をたして、
$\displaystyle \frac{4}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}+\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}$
                $\displaystyle +\frac{4}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}+\frac{2}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}$
$=\displaystyle \frac{12}{\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\cdot\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}$
$=\displaystyle \frac{12}{2\cdot 3\cdot 2\cdot 3}$
$=\displaystyle \frac{12}{36}$式H
となる。


以上より、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は、式Bに式Hとタチツテを代入して、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{\frac{12}{36}}{\frac{17}{36}}$
$\hspace{53px} =\displaystyle \frac{12}{17}$
である。

解答ト:1, ナ:2, ニ:1, ヌ:7

(1) 表による解法

(i)

両方の袋から球を取り出すすべてのパターンを表にすると、箱の中の球は表Hのようになる。

表H
袋B
[R][R][R][W]
袋A[R][R][R][R][R][R][R][R][W]
[R][R][R][R][R][R][R][R][W]
[W][W][R][W][R][W][R][W][W]

表Hのマスは$12$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち「少なくとも1個は[R]」に当てはまるのは、オレンジの$11$マス。
なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{11}{12}$
である。

解答ア:1, イ:1, ウ:1, エ:2

(ii)

箱の中の球が表Hの場合、そこから球をひとつ取り出すと、取り出された球は表Iのような感じだ。
と言っても、表Hのそれぞれのマスの真ん中に線を引いただけだけど。

表I
袋B
[R][R][R][W]
袋A[R][R][R][R][R][R][R][R][W]
[R][R][R][R][R][R][R][R][W]
[W][W][R][W][R][W][R][W][W]

表Iのマスは$24$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち「取りだした球が[R]」にあてはまるのは、オレンジの$17$マス。
なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{17}{24}$
である。

解答オ:1, カ:7, キ:2, ク:4


コサでは、袋Bから出た[R]を区別しないといけない。
なので、表Iの袋Bの[R]に「B」と書き込むと、表Jができる。

表J
袋B
[Rb][Rb][Rb][W]
袋A[R][R][Rb][R][Rb][R][Rb][R][W]
[R][R][Rb][R][Rb][R][Rb][R][W]
[W][W][Rb][W][Rb][W][Rb][W][W]

ここで、条件付き確率の復習をしておこう。

復習

事象$A$が起こったときに事象$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$とは、$A$が起こった場合を全事象と考えて、その中で$B$が起こる確率のことである。

なので、この問題の場合は、
箱から取り出されたのが[R]である場合を全事象と考えて 箱から[Rb]が取り出される確率を考える ということになる。

表Jより、
[R]が取り出される場合を全ての事象と考えるので、全ての事象はグレーのマス以外の$17$マス。
箱から[Rb]が取り出されるのは、オレンジの$9$マス。
なので、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{9}{17}$
である。

解答ケ:9, コ:1, サ:7

(2) 表による解法

(i)

今度は、それぞれの袋から球を2個ずつ取り出す。

袋Aから球を取り出す方法は、

表K
[R][R][W]
[R][R][R][R][W]
[R][R][W]
[W]

の3通り。

詳しく

「いや、[R][R][R][W]の2通りじゃないの?」って思う人もいると思う。

2通りにすると、
[R][R]の確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ [R][W]の確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$ になって、確率がそろわない。
確率がそろわないと、これをもとに表を作った場合、マスの確率がばらばらになって面倒だ。

なので、袋Aから球を取り出す方法は[R][R][R][W][R][W]の3通りで、確率はすべて$\displaystyle \frac{1}{3}$と考える。

また、袋Bから球を取り出す方法は、

表L
[R][R][R][W]
[R][R][R][R][R][R][W]
[R][R][R][R][W]
[R][R][W]
[W]

の6通りだけど、今回は[R][R][R][W]の確率が$\frac{3}{6}$ずつで等しいから、
[R][R][R][W]の2通り と考えよう。

以上より、両方の袋から球を取り出すすべてのパターンは、表Mのようになる。

表M
袋B
[R][R][R][W]
袋A[R][R][R][R][R][R][R][R][R][W]
[R][W][R][R][R][W][R][R][W][W]
[R][W][R][R][R][W][R][R][W][W]

表Mのマスは$6$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち「ちょうど2個が[R]」にあてはまるのは、紫の$2$マス。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
である。

解答シ:1, ス:3

また、「ちょうど3個が[R]」にあてはまるのは、緑の$3$マス。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
となる。

解答セ:1, ソ:2

(ii)

アドバイス

ここまで快適に解いてきたけれど、ここから表が書きづらくなる。
この先の解説を読んで面倒だと思う人は、ここから先は計算で解くっていうのもアリだと思う。

表Mの白いマスを考える。
このとき、箱の中の球は
[R][R][R][R]
なので、ここから2個取り出す方法は

表N
[R][R][R][R]
[R][R][R][R][R][R][R]
[R][R][R][R][R]
[R][R][R]
[R]

より6通りある。

詳しく

「いやいや、[R][R]の1通りでしょ」って思う人もいると思うけど、今回も確率をそろえるために6通りと考える。

同様に、表Mの緑のマスの場合、箱から2個取り出す方法は

表O
[R][R][R][W]
[R][R][R][R][R][R][W]
[R][R][R][R][W]
[R][R][W]
[W]

の6通り。

紫のマスの場合も

表P
[R][R][W][W]
[R][R][R][R][W][R][W]
[R][R][W][R][W]
[W][W][W]
[W]

の6通りある。


この表M~表Oをひとつにまとめる。
具体的には、
表Nを、表Mの白いマスに 表Oを、表Mの緑のマスに 表Pを、表Mの紫のマスに 入れ込んでしまう。

すると、表Qができる。

表Q
袋B
[R][R][R][W]
袋A[R][R]
[R][R][R][R]
[R][R][R][R][R][R][R]
[R][R][R][R][R]
[R][R][R]
[R]
[R][R][R][W]
[R][R][R][R][R][R][W]
[R][R][R][R][W]
[R][R][W]
[W]
[R][W]
[R][R][R][W]
[R][R][R][R][R][R][W]
[R][R][R][R][W]
[R][R][W]
[W]
[R][R][W][W]
[R][R][R][R][W][R][W]
[R][R][W][R][W]
[W][W][W]
[W]
[R][W]
[R][R][R][W]
[R][R][R][R][R][R][W]
[R][R][R][R][W]
[R][R][W]
[W]
[R][R][W][W]
[R][R][R][R][W][R][W]
[R][R][W][R][W]
[W][W][W]
[W]

表Qのマスは$36$個あって、全て同じ確率で起こる。
このうち、問われている「箱から取り出された球が[R][R]」なのは、オレンジのマスの$17$個。

なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{17}{36}$
である。

解答タ:1, チ:7, ツ:3, テ:6


トナニヌでは、また袋Bから出た[R]を区別しないといけない。
なので、コサのときと同じように 表Qの袋Bの[R]に「B」と書き込むと、表Rができる。

表R
袋B
[Rb][Rb][Rb][W]
袋A[R][R]
[R][R][Rb][Rb]
[R][R][R][R][Rb][R][Rb]
[R][R][Rb][R][Rb]
[Rb][Rb][Rb]
[Rb]
[R][R][Rb][W]
[R][R][R][R][Rb][R][W]
[R][R][Rb][R][W]
[Rb][Rb][W]
[W]
[R][W]
[R][Rb][Rb][W]
[R][R][Rb][R][Rb][R][W]
[Rb][Rb][Rb][Rb][W]
[Rb][Rb][W]
[W]
[R][Rb][W][W]
[R][R][Rb][R][W][R][W]
[Rb][Rb][W][Rb][W]
[W][W][W]
[W]
[R][W]
[R][Rb][Rb][W]
[R][R][Rb][R][Rb][R][W]
[Rb][Rb][Rb][Rb][W]
[Rb][Rb][W]
[W]
[R][Rb][W][W]
[R][R][Rb][R][W][R][W]
[Rb][Rb][W][Rb][W]
[W][W][W]
[W]

表Rを使って条件付き確率を求めるんだけど、復習より、この問題では
箱から取り出されたのが[R][R]である場合を全事象と考えて 箱から[R][Rb]が取り出される確率を考える ということになる。

表Rより、
[R][R]が取り出される場合を全ての事象と考えるので、全ての事象はグレーのマス以外の$17$マス。
箱から[R][Rb]が取り出されるのは、オレンジの$12$マス。

なので、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{12}{17}$
である。

解答ト:1, ナ:2, ニ:1, ヌ:7