大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡＢ 第４問 [1] 解説
解説
$S_{1}=a_{1}$
なので、
$a_{1}=5^{1}-1$
$\phantom{ a_{1} } =4$式Ａ
である。
解答ア：４
また、$2\leqq n$のとき
$S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$
なので、
$a_{n}=\left(5^{n}-1\right)-\left(5^{n-1}-1\right)$
途中式
$\phantom{ a_{n} } =5^{n}-5^{n-1}$
$\phantom{ a_{n} } =5\cdot 5^{n-1}-5^{n-1}$
$\phantom{ a_{n} } =(5-1)\cdot 5^{n-1}$
である。
解答イ：４, ウ：５
式Ｂに$n=1$を代入すると
$a_{1}=4\cdot 5^{1-1}$
$\phantom{ a_{1} } =4$
となり、式Ａができる。
よって、式Ｂは$n=1$のときにも成り立つ。
さらに
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}$
に式Ｂを代入すると、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4\cdot 5^{k-1}}$
となる。
これを計算すると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4\cdot 5^{k-1}}$
途中式
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$
$=\displaystyle \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$
$=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}}{1-\frac{1}{5}}$
$=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1-5^{-n}}{\frac{4}{5}}$
$=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{5}{4}\left(1-5^{-n}\right)$
である。
解答エ：５, オ：１, カ：６, キ：５
別解
エ～キは等比数列の和の公式でも解ける。
式Ｂより
$\displaystyle \frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}$
$\phantom{ \displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$
なので、$\displaystyle \frac{1}{a_{n}}$は
初項が$\displaystyle \frac{1}{4}$
公比が$\displaystyle \frac{1}{5}$
の等比数列だ。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}$は、この等比数列の初項から第$n$項までの和なので、等比数列の和の公式より
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}=\frac{\frac{1}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\right\}}{1-\frac{1}{5}}$
途中式
$=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}}{\frac{4}{5}}$
$=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{5}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\right\}$
である。
解答エ：５, オ：１, カ：６, キ：５