大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡB 第4問 [1] 解説

解説

$S_{1}=a_{1}$
なので、
$a_{1}=5^{1}-1$
$\phantom{ a_{1} } =4$式A
である。

解答ア:4

また、$2\leqq n$のとき
$S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$
なので、
$a_{n}=\left(5^{n}-1\right)-\left(5^{n-1}-1\right)$
途中式 $\phantom{ a_{n} } =5^{n}-5^{n-1}$
$\phantom{ a_{n} } =5\cdot 5^{n-1}-5^{n-1}$
$\phantom{ a_{n} } =(5-1)\cdot 5^{n-1}$
$\phantom{ a_{n} } =4\cdot 5^{n-1}$式B
である。

解答イ:4, ウ:5

式Bに$n=1$を代入すると
$a_{1}=4\cdot 5^{1-1}$
$\phantom{ a_{1} } =4$
となり、式Aができる。
よって、式Bは$n=1$のときにも成り立つ。


さらに
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}$
に式Bを代入すると、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4\cdot 5^{k-1}}$
となる。

これを計算すると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4\cdot 5^{k-1}}$
途中式      $=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$
     $=\displaystyle \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$
     $=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}}{1-\frac{1}{5}}$
     $=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1-5^{-n}}{\frac{4}{5}}$
     $=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{5}{4}\left(1-5^{-n}\right)$
     $=\displaystyle \frac{5}{16}\left(1-5^{-n}\right)$
である。

解答エ:5, オ:1, カ:6, キ:5

別解

は等比数列の和の公式でも解ける。

式Bより
$\displaystyle \frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}$
$\phantom{ \displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$
なので、$\displaystyle \frac{1}{a_{n}}$は
初項が$\displaystyle \frac{1}{4}$ 公比が$\displaystyle \frac{1}{5}$ の等比数列だ。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}$は、この等比数列の初項から第$n$項までの和なので、等比数列の和の公式より
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}=\frac{\frac{1}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\right\}}{1-\frac{1}{5}}$
途中式      $=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}}{\frac{4}{5}}$
     $=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{5}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\right\}$
     $=\displaystyle \frac{5}{16}\left(1-5^{-n}\right)$
である。

解答エ:5, オ:1, カ:6, キ:5