大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 解説
(1)
$0\lt a$かつ$a \neq 1$のとき、
$\log_{a}a=1$
なので、
$\log_{10}10=1$
である。
解答ア：１
さらに、$5$を$10$，$2$，$3$を使って表すと
詳しく
$\log_{10}5$を$\log_{10}2$と$\log_{10}3$で表すので、使える数字は
底の10
2
3
の３つだ。
これを使って$5$をつくる。
なので、
$\displaystyle \log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}$
$\phantom{ \log_{10}5 }=\log_{10}10-\log_{10}2$
$\phantom{ \log_{10}5 }=1-\log_{10}2$
$\phantom{ \log_{10}5 }=-\log_{10}2+1$
と変形できる。
解答イ：－, ウ：１
$\log_{10}5$が分かったから$5$も使えるようになった。
$15$を$10$，$2$，$3$，$5$を使って表すと
$15=3\times 5$
なので、
$\log_{10}15=\log_{10}(3\times 5)$
$\phantom{ \log_{10}15 }=\log_{10}3+\log_{10}5$
とかける。
これにイウを代入して、
$\log_{10}15=\log_{10}3-\log_{10}2+1$
$\phantom{ \log_{10}15 }=-\log_{10}2+\log_{10}3+1$
となる。
解答エ：－, オ：１
(2) カ～ケ
次は、桁数と最高位の数字の問題。
定期テストなんかでよくみるやつだ。
まず、桁数から。
アドバイス
例えば$3$桁の整数は
$100$～$999$
なので、
$10^{2}\leqq 3$桁の整数$\lt 10^{3}$
とかける。
なので、$n$桁の整数は
$10^{n-1}\leqq n$桁の整数$\lt 10^{n}$
だと考えられる。
ということで、$15^{20}$の桁数は
$10^{n-1}\leqq 15^{20}\lt 10^{n}$式Ａ
となる$n$を求めれば分かる。
$n$は、式Ａの各辺の常用対数をとって、
$\log_{10}10^{n-1}\leqq\log_{10}15^{20}\lt \log_{10}10^{n}$
より
$(n-1)\log_{10}10\leqq\log_{10}15^{20}\lt n\log_{10}10$
$n-1\leqq\log_{10}15^{20}\lt n$式Ａ'
として求める。
これが考え方なんだけど、問題文には計算部分しかない。
単に計算すればいいから考え方は知らなくても解けるけれど、ミスや勘違いを防ぐためにも、知っておくことをお勧めする。
$15^{20}$の常用対数の
$\log_{10}15^{20}$
を考える。
これを変形した
$\log_{10}15^{20}=20\log_{10}15$
にエオを代入すると
$\log_{10}15^{20}=20\left(-\log_{10}2+\log_{10}3+1\right)$
式Ｂ
とかける。
問題より、
$\left\{\begin{array}{l}
\log_{10}2=0.3010\\
\log_{10}3=0.4771
\end{array}\right.$
なので、式Ｂはさらに
$\log_{10}15^{20}=20(-0.3010+0.4771+1)$
$\hspace{73px} =20\times 1.1761$
$\hspace{73px} =23.522$式Ｃ
と表せる。
式Ｃより
$23\leqq\log_{10}15^{20}\lt 24$式Ｄ
であることが分かる。
解答カ：２, キ：３
この式Ｄを式Ａ'と見比べると、$n$は$24$だ。
なので、$15^{20}$は$24$桁の整数である。
解答ク：２, ケ：４
(2) コサ
花子さんの発言をもとに、$N$を一桁の整数として
$N\cdot 10^{23} \lt 15^{20} \lt (N+1)\cdot 10^{23}$式Ｅ
とした場合、$15^{20}$の最高位の数字は$N$だ。
この$N$を求める。
式Ｅの各辺の常用対数をとると、
$\log_{10}(N\cdot 10^{23})$
$\hspace{76px} \lt \log_{10}15^{20}$
$\hspace{120px} \lt \log_{10}\{(N+1)\cdot 10^{23}\}$
より
途中式
$\log_{10}N + \log_{10}10^{23}$
$\hspace{76px} \lt \log_{10}15^{20}$
$\hspace{120px} \lt \log_{10}(N+1) + \log_{10}10^{23}$
$\log_{10}N + 23\log_{10}10$
$\hspace{76px} \lt \log_{10}15^{20}$
$\hspace{120px} \lt \log_{10}(N+1) + 23\log_{10}10$
とかける。
これに式Ｃを代入すると、
$\log_{10}N + 23 \lt 23.522 \lt \log_{10}(N+1) + 23$
なので
$\log_{10}N \lt 0.522 \lt \log_{10}(N+1)$式Ｆ
と表せる。
この$0.522$は、$\log_{10}15^{20}$の小数部分にあたる。
ここからは、$N=1$のときから順にやってみるしかない。
と言っても、
$\log_{10}3=0.4771 \lt 0.522$
なので、$N=1$，$2$は式Ｆが成り立たないから不適。
$N=3$から始めよう。
$N=3$のとき
$\log_{10}3=0.4771$
$\log_{10}4=\log_{10}2^{2}$
$\phantom{\log_{10}4}=2\log_{10}2$
$\phantom{\log_{10}4}=2\cdot 0.3010$
$\phantom{\log_{10}4}=0.6020$
なので、
$\log_{10}3\lt 0.522 \lt\log_{10}4$
だから、式Ｆは成り立つ。
おお、いきなり答えを見つけてしまった。
解答コ：3
はじめに考えたように、この$N$が最高位の数字だ。
なので、$15^{20}$の最高位の数字は$3$である。
解答サ：３