大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡB 第1問 [1] 解説

(1)

$0\lt a$かつ$a \neq 1$のとき、
$\log_{a}a=1$
なので、
$\log_{10}10=1$
である。

解答ア:1


さらに、$5$を$10$,$2$,$3$を使って表すと
詳しく $\log_{10}5$を$\log_{10}2$と$\log_{10}3$で表すので、使える数字は 底の10 2 3 の3つだ。
これを使って$5$をつくる。
$5=\displaystyle \frac{10}{2}$
なので、
$\displaystyle \log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}$
$\phantom{ \log_{10}5 }=\log_{10}10-\log_{10}2$
$\phantom{ \log_{10}5 }=1-\log_{10}2$
$\phantom{ \log_{10}5 }=-\log_{10}2+1$
と変形できる。

解答イ:-, ウ:1

$\log_{10}5$が分かったから$5$も使えるようになった。
$15$を$10$,$2$,$3$,$5$を使って表すと
$15=3\times 5$
なので、
$\log_{10}15=\log_{10}(3\times 5)$
$\phantom{ \log_{10}15 }=\log_{10}3+\log_{10}5$
とかける。

これにを代入して、
$\log_{10}15=\log_{10}3-\log_{10}2+1$
$\phantom{ \log_{10}15 }=-\log_{10}2+\log_{10}3+1$
となる。

解答エ:-, オ:1

(2) カ~ケ

次は、桁数と最高位の数字の問題。
定期テストなんかでよくみるやつだ。

まず、桁数から。

アドバイス

例えば$3$桁の整数は
$100$~$999$
なので、
$10^{2}\leqq 3$桁の整数$\lt 10^{3}$
とかける。

なので、$n$桁の整数は
$10^{n-1}\leqq n$桁の整数$\lt 10^{n}$
だと考えられる。

ということで、$15^{20}$の桁数は
$10^{n-1}\leqq 15^{20}\lt 10^{n}$式A
となる$n$を求めれば分かる。

$n$は、式Aの各辺の常用対数をとって、
$\log_{10}10^{n-1}\leqq\log_{10}15^{20}\lt \log_{10}10^{n}$
より
$(n-1)\log_{10}10\leqq\log_{10}15^{20}\lt n\log_{10}10$
$n-1\leqq\log_{10}15^{20}\lt n$式A'
として求める。

これが考え方なんだけど、問題文には計算部分しかない。
単に計算すればいいから考え方は知らなくても解けるけれど、ミスや勘違いを防ぐためにも、知っておくことをお勧めする。

$15^{20}$の常用対数の
$\log_{10}15^{20}$
を考える。

これを変形した
$\log_{10}15^{20}=20\log_{10}15$
を代入すると
$\log_{10}15^{20}=20\left(-\log_{10}2+\log_{10}3+1\right)$
                           式B
とかける。

問題より、
$\left\{\begin{array}{l} \log_{10}2=0.3010\\ \log_{10}3=0.4771 \end{array}\right.$
なので、式Bはさらに
$\log_{10}15^{20}=20(-0.3010+0.4771+1)$
$\hspace{73px} =20\times 1.1761$
$\hspace{73px} =23.522$式C
と表せる。

式Cより
$23\leqq\log_{10}15^{20}\lt 24$式D
であることが分かる。

解答カ:2, キ:3

この式Dを式A'と見比べると、$n$は$24$だ。
なので、$15^{20}$は$24$桁の整数である。

解答ク:2, ケ:4

(2) コサ

花子さんの発言をもとに、$N$を一桁の整数として
$N\cdot 10^{23} \lt 15^{20} \lt (N+1)\cdot 10^{23}$式E
とした場合、$15^{20}$の最高位の数字は$N$だ。
この$N$を求める。

式Eの各辺の常用対数をとると、
$\log_{10}(N\cdot 10^{23})$
$\hspace{76px} \lt \log_{10}15^{20}$
$\hspace{120px} \lt \log_{10}\{(N+1)\cdot 10^{23}\}$
より
途中式 $\log_{10}N + \log_{10}10^{23}$
$\hspace{76px} \lt \log_{10}15^{20}$
$\hspace{120px} \lt \log_{10}(N+1) + \log_{10}10^{23}$
$\log_{10}N + 23\log_{10}10$
$\hspace{76px} \lt \log_{10}15^{20}$
$\hspace{120px} \lt \log_{10}(N+1) + 23\log_{10}10$
$\log_{10}N + 23 \lt \log_{10}15^{20} \lt \log_{10}(N+1) + 23$
とかける。

これに式Cを代入すると、
$\log_{10}N + 23 \lt 23.522 \lt \log_{10}(N+1) + 23$
なので
$\log_{10}N \lt 0.522 \lt \log_{10}(N+1)$式F
と表せる。
この$0.522$は、$\log_{10}15^{20}$の小数部分にあたる。


ここからは、$N=1$のときから順にやってみるしかない。
と言っても、
$\log_{10}3=0.4771 \lt 0.522$
なので、$N=1$,$2$は式Fが成り立たないから不適。
$N=3$から始めよう。

$N=3$のとき
$\log_{10}3=0.4771$ $\log_{10}4=\log_{10}2^{2}$
$\phantom{\log_{10}4}=2\log_{10}2$
$\phantom{\log_{10}4}=2\cdot 0.3010$
$\phantom{\log_{10}4}=0.6020$
なので、
$\log_{10}3\lt 0.522 \lt\log_{10}4$
だから、式Fは成り立つ。
おお、いきなり答えを見つけてしまった。

解答コ:3

はじめに考えたように、この$N$が最高位の数字だ。
なので、$15^{20}$の最高位の数字は$3$である。

解答サ:3