大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡＢ 第５問 解説
(1)
最初に図を描こう。
図を描くことには、ミスを防いだり情報を整理したりする目的もある。なので「図がなくても解けるよ」と思っても、必ず描くことをお勧めする。
空間で描くと図Ａみたいなのができるけど、お勧めじゃない。
時間がかかるから。
なので、図Ｂのような平面の図を描こう。
図Ｂに点Ｃ～Ｅを描きたすと、図Ｃができる。
図Ｃを見ながら問題を解く。
まず、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^{2}$から。
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(-1,2,0)$
なので、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}$
$=5$
である。
解答ア：5
また、点$\mathrm{D}$は$\mathrm{OA}$を$9:1$に内分するので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{9}{9+1}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$\phantom{ \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}} } \displaystyle =\frac{9}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$式Ａ
とかける。
解答イ：9, ウ：1, エ：0
さらに、点$\mathrm{C}$は$\mathrm{AB}$の中点なので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$式Ｂ
となる。
よって、式Ａ，式Ｂより、
$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
は
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{9}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$
途中式
$\phantom{ \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}} } \displaystyle =\frac{9}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{5}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
$\phantom{ \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}} } \displaystyle =\frac{4}{10}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
と表せる。
解答オ：2, カ：5, キ：1, ク：2
いま、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$
とかける。
これに式Ｃを代入すると、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=0$
途中式
両辺を$10$倍して、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\left(4\overrightarrow{\mathrm{OA}}-5\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=0$
より
$4\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^{2}-5\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$
$5\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=4\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^{2}$
となる。
この式にアで求めた$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^{2}$を代入して、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{4}{5}\cdot 5$
$=4$式①
である。
解答ケ：4
補足
次は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}$だけど、問題文中の式②に
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}=20$
とあるので、ここでは自分で求める必要はない。
以下に求め方を載せたけど、問題だけ解ければいいやっていう人は、この補足は読み飛ばしてもらってかまわない。
$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$のときと同様に、$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$式Ｄ
とかける。
ここで、点$\mathrm{E}$は$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分するので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{3}{3+2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
$=\displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
となる。
これと式Ｂを式Ｄに代入すると、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CE}}=\frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$
$\phantom{ \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CE}} } \displaystyle =-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{10}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$式Ｅ
である。
いま、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$なので、式Ｅより
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{10}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=0$
途中式
だけど、この両辺を$10$倍して
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\left(-5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=0$
より
$-5\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}=0$
と表せる。
これに式①を代入して、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}=5\cdot 4$
$=20$式②
となる。
さらに、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,2,0)\cdot(2,p,q)$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2p-2$
とかける。
これに式①を代入して
$2p-2=4$
$2p=6$
$p=3$
である。
よって、
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,3,q)$
となるから、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}=2^{2}+3^{2}+q^{2}$
$=q^{2}+13$
と表せる。
これに式②を代入すると
$q^{2}+13=20$
$q=\pm\sqrt{7}$
だけど、$q \gt 0$なので
$q=\sqrt{7}$
となる。
以上より
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,3,\sqrt{7})$
となるから、点$\mathrm{B}$の座標は
$(2,3,\sqrt{7})$
である。
解答コ：3, サ：7
(2)
ここからは、空間での図を描かないといけない。
$\alpha$を黄色い平面とすると、図Ｄができる。
図中の青いベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表す。
点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{H}$は同一平面上にあり、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\nparallel\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\neq\vec{0}$ かつ $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\neq\vec{0}$
なので、$s$，$t$を実数として、
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
と表せる。
よって、
$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
は
$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{GH}} } =-\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
とかける。
解答シ：－
この$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が垂直なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=0$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\left(-\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=0$
$-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^{2}+t\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$
とかける。
これに$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の成分とアケで求めた$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を代入して、
$-(-1,2,0)\cdot(4,4,-\sqrt{7})+5s+4t=0$
$4-8+5s+4t=0$
$5s+4t-4=0$式Ｆ
との式ができる。
また、$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$も垂直なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=0$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\left(-\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=0$
$-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}=0$
とかける。
これをさっきと同じように計算すると
$-(2,3,\sqrt{7})\cdot(4,4,-\sqrt{7})+4s+20t=0$
$-8-12+7+4s+20t=0$
$4s+20t-13=0$式Ｇ
との式ができる。
あとは、式Ｆ，式Ｇの連立方程式
| $5s+4t-4=0$ | 式Ｆ | |
| $4s+20t-13=0$ | 式Ｇ |
を解けばよい。
| 式Ｆ$\times 5$ | $25s$ | $+20t$ | $-20$ | $=$ | $0$ | |
| 式Ｇ | $-)$ | $4s$ | $+20t$ | $-13$ | $=$ | $0$ |
| $21s$ | $-7$ | $=$ | $0$ |
より、
$s=\displaystyle \frac{7}{21}$
$\phantom{ s\displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{3}$
となる。
解答ス：1, セ：3
これを式Ｆに代入して、
$5\displaystyle \cdot\frac{1}{3}+4t-4=0$
途中式
両辺を$3$倍して
$5+12t-12=0$
$12t=7$
である。
解答ソ：7, タ：1, チ：2
最後は、点$\mathrm{H}$の存在範囲だ。
まず、点の存在範囲と位置ベクトルの復習をしよう。
復習
図Ｅのように、三角形$\mathrm{OAB}$があり、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$とする。
△$\mathrm{OAB}$と同じ平面上に点$\mathrm{P}$があり、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$
を考える。
話を簡単にするため、$0 \lt s+t$とする。
$s+t$で場合分けすると、点$\mathrm{P}$が存在するのは、
$s+t \lt 1$のとき、直線$\mathrm{AB}$より点$\mathrm{O}$側
$s+t=1$のとき、直線$\mathrm{AB}$上
$1 \lt s+t$のとき、直線$\mathrm{AB}$の点$\mathrm{O}$と反対側
である。
図にまとめると、点$\mathrm{P}$の存在範囲は図Ｆのようになる。
$s$と$t$の符号で場合分けすると、点$\mathrm{P}$が存在するのは、
$0 \lt s$，$0 \lt t$のとき、直線$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の間
$s \lt 0$，$0 \lt t$のとき、直線$\mathrm{OB}$より左
$0 \lt s$，$t \lt 0$のとき、直線$\mathrm{OA}$より右
である。
図で表すと、点$\mathrm{P}$の存在範囲は図Ｇのような感じだ。
最後に、$s$と$t$の大小関係で場合分けする。
これは学校ではやらないかも知れない。
点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の中点を点$\mathrm{C}$とすると、点$\mathrm{P}$が存在するのは
$t \lt s$のとき、直線$\mathrm{OC}$よりも点$\mathrm{A}$側
$s \lt t$のとき、直線$\mathrm{OC}$よりも点$\mathrm{B}$側
である。
図にすると、図Ｈのようになる。
今回は、
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
で、ス～タチより
$\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle s=\frac{1}{3}\\
\displaystyle t=\frac{7}{12}
\end{array}\right.$
だった。
$s+t=\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{7}{12}$
$\phantom{ s+t\displaystyle } \displaystyle =\frac{11}{12} \lt 1$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習でいうと、図Ｆの緑の範囲に存在する。
また、
$\left\{\begin{array}{l}
s \gt 0\\
t \gt 0
\end{array}\right.$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習だと、図Ｇのオレンジの範囲だ。
さらに、
$s \lt t$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習の図Ｈの緑の範囲にある。
以上より、点$\mathrm{H}$は、上の3つの範囲の共通部分である
△$\mathrm{OBC}$の内部
に存在する。
これに当てはまる選択肢は
①
だ。
解答ツ：1
別解
と、復習の内容を知っていれば この問題はすぐに解ける。
けれど、知らない場合は仕方がない。計算だ。
まず
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$式Ｈ
の$s$と$t$の和を$1$にする。
いま、
$\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle s=\frac{1}{3}\\
\displaystyle t=\frac{7}{12}
\end{array}\right.$
なので、
$s+t=\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{7}{12}$
$\phantom{ s+t\displaystyle } \displaystyle =\frac{11}{12}$
だ。
これを$1$にするには、式Ｈの両辺に$\displaystyle \frac{12}{11}$をかけて、
$\displaystyle \frac{12}{11}\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{12}{11}s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{12}{11}t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
とすればよい。
これに$s$，$t$の値を代入して計算すると、
$\displaystyle \frac{12}{11}\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{12}{11}\cdot\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{12}{11}\cdot\frac{7}{12}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
途中式
$\phantom{ \displaystyle \frac{12}{11}\overrightarrow{\mathrm{OH}} } \displaystyle =\frac{4}{11}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{7}{11}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
$\phantom{ \displaystyle \frac{12}{11}\overrightarrow{\mathrm{OH}} } \displaystyle =\frac{4\overrightarrow{\mathrm{OA}}+7\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{4+7}$
とかける。
この式の赤い部分は、$\mathrm{AB}$を$7:4$に内分する点へのベクトルだ。
それを$\displaystyle \frac{11}{12}$倍すると$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$なので、点$\mathrm{H}$は図Ｉの位置にある。
図Ｉより、点$\mathrm{H}$は
△$\mathrm{OBC}$の内部
に存在する。
これに当てはまる選択肢は
①
である。
解答ツ：1