大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 追試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

最初に図を描こう。
図を描くことには、ミスを防いだり情報を整理したりする目的もある。なので「図がなくても解けるよ」と思っても、必ず描くことをお勧めする。

空間で描くと図Aみたいなのができるけど、お勧めじゃない。
時間がかかるから。

図A
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図A

なので、図Bのような平面の図を描こう。

図B
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図B

図Bに点C~Eを描きたすと、図Cができる。

図C
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図C

図Cを見ながら問題を解く。


まず、$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$から。
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=(-1,2,0)$
なので、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}$
         $=5$
である。

解答ア:5

また、点$\mathrm{D}$は$\mathrm{OA}$を$9:1$に内分するので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\frac{9}{9+1}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\phantom{ \displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{D}} } \displaystyle =\frac{9}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$式A
とかける。

解答イ:9, ウ:1, エ:0

さらに、点$\mathrm{C}$は$\mathrm{AB}$の中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}}{2}$式B
となる。

よって、式A,式Bより、
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$

$\displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\frac{9}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}}{2}$
途中式 $\phantom{ \displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}} } \displaystyle =\frac{9}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{5}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
$\phantom{ \displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}} } \displaystyle =\frac{4}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
$\phantom{ \displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}} } \displaystyle =\frac{2}{5}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$式C
と表せる。

解答オ:2, カ:5, キ:1, ク:2


いま、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$⊥$\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}$なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}=0$
とかける。

これに式Cを代入すると、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\left(\frac{2}{5}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
途中式 両辺を$10$倍して、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\left(4\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-5\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
より
$4\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}-5\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=0$
$5\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=4\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\frac{4}{5}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$
となる。

この式にで求めた$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$を代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\frac{4}{5}\cdot 5$
             $=4$式①
である。

解答ケ:4

補足

次は$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}$だけど、問題文中の式②に
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=20$
とあるので、ここでは自分で求める必要はない。
以下に求め方を載せたけど、問題だけ解ければいいやっていう人は、この補足は読み飛ばしてもらってかまわない。


$\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}$のときと同様に、$\vec{\mathrm{C}\mathrm{E}}$は
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{E}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$式D
とかける。

ここで、点$\mathrm{E}$は$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分するので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}=\frac{3}{3+2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
      $=\displaystyle \frac{3}{5}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
となる。

これと式Bを式Dに代入すると、
$\displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{E}}=\frac{3}{5}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}}{2}$
$\phantom{ \displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{E}} } \displaystyle =-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\frac{1}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$式E
である。

いま、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$⊥$\vec{\mathrm{C}\mathrm{E}}$なので、式Eより
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\frac{1}{10}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
途中式 だけど、この両辺を$10$倍して
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\left(-5\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
より
$-5\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=0$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=5\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
と表せる。

これに式①を代入して、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=5\cdot 4$
         $=20$式②
となる。

さらに、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(-1,2,0)\cdot(2,p,q)$
なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=2p-2$
とかける。

これに式①を代入して
$2p-2=4$
$2p=6$
$p=3$
である。

よって、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(2,3,q)$
となるから、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=2^{2}+3^{2}+q^{2}$
         $=q^{2}+13$
と表せる。

これに式②を代入すると
$q^{2}+13=20$
$q=\pm\sqrt{7}$
だけど、$q \gt 0$なので
$q=\sqrt{7}$
となる。

以上より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=(2,3,\sqrt{7})$
となるから、点$\mathrm{B}$の座標は
$(2,3,\sqrt{7})$
である。

解答コ:3, サ:7

(2)

ここからは、空間での図を描かないといけない。
$\alpha$を黄色い平面とすると、図Dができる。

図D
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図D

図中の青いベクトルを$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$を用いて表す。

点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{H}$は同一平面上にあり、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\nparallel\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\neq\vec{0}$ かつ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\neq\vec{0}$ なので、$s$,$t$を実数として、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
と表せる。

よって、
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$

$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{G}\mathrm{H}} } =-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
とかける。

解答シ:-


この$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$と$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$が垂直なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=0$
より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\left(-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
$-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=0$
とかける。

これに$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$の成分とで求めた$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\right|^{2}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$を代入して、
$-(-1,2,0)\cdot(4,4,-\sqrt{7})+5s+4t=0$
$4-8+5s+4t=0$
$5s+4t-4=0$式F
との式ができる。

また、$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$と$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$も垂直なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=0$
より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\left(-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right)=0$
$-\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+t\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\right|^{2}=0$
とかける。

これをさっきと同じように計算すると
$-(2,3,\sqrt{7})\cdot(4,4,-\sqrt{7})+4s+20t=0$
$-8-12+7+4s+20t=0$
$4s+20t-13=0$式G
との式ができる。

あとは、式F,式Gの連立方程式

$5s+4t-4=0$式F
$4s+20t-13=0$式G

を解けばよい。

式F$\times 5$ $25s$ $+20t$ $-20$ $=$ $0$
式G$-)$ $4s$ $+20t$ $-13$ $=$ $0$
$21s$ $-7$ $=$ $0$

より、
$s=\displaystyle \frac{7}{21}$
$\phantom{ s\displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{3}$
となる。

解答ス:1, セ:3

これを式Fに代入して、
$5\displaystyle \cdot\frac{1}{3}+4t-4=0$
途中式 両辺を$3$倍して
$5+12t-12=0$
$12t=7$
$t=\displaystyle \frac{7}{12}$
である。

解答ソ:7, タ:1, チ:2


最後は、点$\mathrm{H}$の存在範囲だ。
まず、点の存在範囲と位置ベクトルの復習をしよう。

復習

図E
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図E

図Eのように、三角形$\mathrm{OAB}$があり、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\vec{a}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\vec{b}$とする。

△$\mathrm{OAB}$と同じ平面上に点$\mathrm{P}$があり、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=s\vec{a}+t\vec{b}$
を考える。
話を簡単にするため、$0 \lt s+t$とする。


$s+t$で場合分けすると、点$\mathrm{P}$が存在するのは、
$s+t \lt 1$のとき、直線$\mathrm{AB}$より点$\mathrm{O}$側 $s+t=1$のとき、直線$\mathrm{AB}$上 $1 \lt s+t$のとき、直線$\mathrm{AB}$の点$\mathrm{O}$と反対側 である。

図にまとめると、点$\mathrm{P}$の存在範囲は図Fのようになる。

図F
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図F

$s$と$t$の符号で場合分けすると、点$\mathrm{P}$が存在するのは、
$0 \lt s$,$0 \lt t$のとき、直線$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の間 $s \lt 0$,$0 \lt t$のとき、直線$\mathrm{OB}$より左 $0 \lt s$,$t \lt 0$のとき、直線$\mathrm{OA}$より右 である。

図で表すと、点$\mathrm{P}$の存在範囲は図Gのような感じだ。

図G
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図G

最後に、$s$と$t$の大小関係で場合分けする。
これは学校ではやらないかも知れない。

点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の中点を点$\mathrm{C}$とすると、点$\mathrm{P}$が存在するのは
$t \lt s$のとき、直線$\mathrm{OC}$よりも点$\mathrm{A}$側 $s \lt t$のとき、直線$\mathrm{OC}$よりも点$\mathrm{B}$側 である。

図にすると、図Hのようになる。

図H
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図H

今回は、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
で、タチより
$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle s=\frac{1}{3}\\ \displaystyle t=\frac{7}{12} \end{array}\right.$
だった。

$s+t=\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{7}{12}$
$\phantom{ s+t\displaystyle } \displaystyle =\frac{11}{12} \lt 1$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習でいうと、図Fの緑の範囲に存在する。

また、
$\left\{\begin{array}{l}
s \gt 0\\
t \gt 0
\end{array}\right.$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習だと、図Gのオレンジの範囲だ。

さらに、
$s \lt t$
なので、点$\mathrm{H}$は、復習の図Hの緑の範囲にある。

以上より、点$\mathrm{H}$は、上の3つの範囲の共通部分である
△$\mathrm{OBC}$の内部 に存在する。
これに当てはまる選択肢は

だ。

解答ツ:1

別解

と、復習の内容を知っていれば この問題はすぐに解ける。
けれど、知らない場合は仕方がない。計算だ。


まず
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$式H
の$s$と$t$の和を$1$にする。

いま、
$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle s=\frac{1}{3}\\ \displaystyle t=\frac{7}{12} \end{array}\right.$
なので、
$s+t=\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{7}{12}$
$\phantom{ s+t\displaystyle } \displaystyle =\frac{11}{12}$
だ。
これを$1$にするには、式Hの両辺に$\displaystyle \frac{12}{11}$をかけて、
$\displaystyle \frac{12}{11}\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\frac{12}{11}s\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\frac{12}{11}t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
とすればよい。

これに$s$,$t$の値を代入して計算すると、
$\displaystyle \frac{12}{11}\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\frac{12}{11}\cdot\frac{1}{3}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\frac{12}{11}\cdot\frac{7}{12}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
途中式 $\phantom{ \displaystyle \frac{12}{11}\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}} } \displaystyle =\frac{4}{11}\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\frac{7}{11}\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
$\phantom{ \displaystyle \frac{12}{11}\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}} } \displaystyle =\frac{4\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+7\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}}{4+7}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\frac{11}{12}\cdot \textcolor{red}{\displaystyle \frac{4\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+7\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}}{4+7}}$
とかける。

この式の赤い部分は、$\mathrm{AB}$を$7:4$に内分する点へのベクトルだ。
それを$\displaystyle \frac{11}{12}$倍すると$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$なので、点$\mathrm{H}$は図Iの位置にある。

図I
大学入学共通テスト2021年追試 数学ⅡB 第5問 解説図I

図Iより、点$\mathrm{H}$は
△$\mathrm{OBC}$の内部 に存在する。
これに当てはまる選択肢は

である。

解答ツ:1