図Ａの２本の赤い線で方べきの定理を使おう。
$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}=\mathrm{CP}\cdot \mathrm{DP}$
なので、
$$ \begin{align} \mathrm{BP}&=\sqrt{10}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{5}\\ &=\dfrac{10}{5}\\ &=2 \end{align} $$ である。

解答ア：２

また、$\triangle \mathrm{CAP}$（緑の三角形）は、
$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{CP}^{2}$
なので、$\angle \mathrm{CAP}=90^{\circ}$の直角三角形である。

解答イ：９, ウ：０

円周角が$90^{\circ}$なので、弦$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径である。
アより$\mathrm{BP}=2$なので、$\mathrm{AB}=3$であるから、$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形。
よって、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=1:1:\sqrt{2}$
である。
よって、
$\mathrm{BC}=3\sqrt{2}$
であり、円$\mathrm{O}$の直径も$3\sqrt{2}$である。

解答エ：３, オ：２

また、緑色の三角形は$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$の直角三角形だった。
よって、
$$ \begin{align} \tan\angle \mathrm{PCA}&=\dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}\\ &=\dfrac{1}{3} \end{align} $$ となる。

解答カ：１, キ：３

図Ｂで、$\mathrm{PH} \perp \mathrm{BC}$なので、$\angle \mathrm{BHP}=90^{\circ}$
円周角が$90^{\circ}$なので、線分$\mathrm{BP}$は$\triangle \mathrm{PHB}$の外接円の直径である。
よって、直径は$2$である。

解答ク：２

また、$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径なので、$\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$
よって、
$\angle \mathrm{PHB}+\angle \mathrm{BDP}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
となる。

解答ケ：１, コ：８, サ：０

よって、点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PHB}$の外接円上にある。

さらに、$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形なので、
$\angle \mathrm{ABC}=45^{\circ}$
である。
よって、$\triangle \mathrm{PHB}$も$\mathrm{HB}=\mathrm{HP}$の直角二等辺三角形だから、
$\angle \mathrm{BPH}=45^{\circ}$
となる。
$\angle \mathrm{BDH}$と$\angle \mathrm{BPH}$は同一の弧に対する円周角なので、$\angle \mathrm{BDH}$も$45^{\circ}$である。

解答シ：４, ス：５

図Cにおいて、同一の弧の円周角は等しいので、同じ色の角度は等しい。
よって、$\triangle \mathrm{BAE}$は$\mathrm{BA}=\mathrm{BE}$の直角二等辺三角形になる。
円周角が$90^{\circ}$なので、弦$\mathrm{AE}$は円$\mathrm{O}$の直径であるから、$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BC}$は点$\mathrm{O}$で交わる。

また、図Cより、$\triangle \mathrm{OAB}$も$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$の直角二等辺三角形になるから、
$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$
なので、
$\angle \mathrm{BOE}=90^{\circ}$
である。

解答セ：９, ソ：０

さらに、AEは円Oの直径なので、
$\mathrm{AE}=3\sqrt{2}$
である。

解答タ：３, チ：２

次は$\tan\angle \mathrm{PCH}$だ。
$\tan\angle \mathrm{PCH}$と言われると、つい図Ｄの赤い三角形の$\triangle \mathrm{PCH}$に目が行くけど、緑の三角形の方が２辺の長さが分かっていて使いやすいかも。
なので、ここでは緑の三角形の$\triangle \mathrm{BCD}$を使う。

$\triangle \mathrm{BCD}$は$\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\cos\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{\sqrt{10}+\cfrac{\sqrt{10}}{5}}{3\sqrt{2}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\cos\angle \mathrm{BCD}}&=\dfrac{\cfrac{6}{5}\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}\\ &=\dfrac{6\sqrt{10}}{5\cdot 3\sqrt{2}} \end{align} $$

$\phantom{\cos\angle \mathrm{BCD}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$1+\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$より、
$1+\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{1}{\left(\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}}$
$\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\left(\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\right)^{2}-1$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}}&=\dfrac{5^{2}}{2^{2}\cdot 5}-1\\ &=\dfrac{5}{2^{2}}-1\\ &=\dfrac{5}{2^{2}}-\dfrac{2^{2}}{2^{2}} \end{align} $$

$\phantom{\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}}=\dfrac{1}{2^{2}}$
$0 \lt \tan\angle \mathrm{BCD}$なので、
$\tan\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{1}{2}$
である。

$\tan\angle \mathrm{PCH}$も同じ値で、
$\tan\angle \mathrm{PCH}=\dfrac{1}{2}$
となる。

解答ツ：１, テ：２