大学入試センター試験 2012年(平成24年) 追試 数学ⅠA 第3問 解説

ア~カ

図A
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図A

図Aの2本の赤い線で方べきの定理を使おう。
$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}=\mathrm{CP}\cdot \mathrm{DP}$
なので、
$\displaystyle \mathrm{BP}=\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}$
$\displaystyle \mathrm{BP}$$\displaystyle =\frac{10}{5}$
$\mathrm{BP}$$=2$
である。

解答ア:2

また、△CAP(緑の三角形)は、
$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{CP}^{2}$
なので、$\angle \mathrm{CAP}=90^{\circ}$の直角三角形である。

解答イ:9, ウ:0

円周角が$90^{\circ}$なので、弦BCは円Oの直径である。
アより$\mathrm{BP}=2$なので、$\mathrm{AB}=3$であるから、△ABCは$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形。
よって、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=1:1:\sqrt{2}$
である。
よって、
$\mathrm{BC}=3\sqrt{2}$
であり、円Oの直径も$3\sqrt{2}$である。

解答エ:3, オ:2

また、緑色の三角形は$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$の直角三角形だった。
よって、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCA}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCA}$$\displaystyle =\frac{1}{3}$
となる。

解答カ:1, キ:3

ク~ス

図B
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図B

図Bで、$\mathrm{PH}$⊥$\mathrm{BC}$なので、$\angle \mathrm{BHP}=90^{\circ}$
円周角が$90^{\circ}$なので、線分BPは△PHBの外接円の直径である。
よって、直径は$2$である。

解答ク:2

また、BCは円Oの直径なので、$\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$
よって、
$\angle \mathrm{PHB}+\angle \mathrm{BDP}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
となる。

解答ケ:1, コ:8, サ:0

よって、点Dは△PHBの外接円上にある。

さらに、△ABCは$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形なので、
$\angle \mathrm{ABC}=45^{\circ}$
である。
よって、△PHBも$\mathrm{HB}=\mathrm{HP}$の直角二等辺三角形だから、
$\angle \mathrm{BPH}=45^{\circ}$
となる。
$\angle \mathrm{BDH}$と$\angle \mathrm{BPH}$は同一の弧に対する円周角なので、$\angle \mathrm{BDH}$も$45^{\circ}$である。

解答シ:4, ス:5

セ~チ

図C
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図C

図Cにおいて、同一の弧の円周角は等しいので、同じ色の角度は等しい。
よって、△BAEは$\mathrm{BA}=\mathrm{BE}$の直角二等辺三角形になる。
円周角が$90^{\circ}$なので、弦AEは円Oの直径であるから、AEとBCは点Oで交わる。

また、図Cより、△OABも$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$の直角二等辺三角形になるから、
$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$
なので、
$\angle \mathrm{BOE}=90^{\circ}$
である。

解答セ:9, ソ:0

さらに、AEは円Oの直径なので、
$\mathrm{AE}=3\sqrt{2}$
である。

解答タ:3, チ:2

ツ,テ

図D
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図D

次は$\tan\angle \mathrm{PCH}$だ。
$\tan\angle \mathrm{PCH}$と言われると、つい図Dの赤い三角形の△PCHに目が行くけど、緑の三角形の方が2辺の長さが分かっていて使いやすいかも。
なので、ここでは緑の三角形の△BCDを使う。

△BCDは$\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}=\frac{\sqrt{10}+\frac{\sqrt{10}}{5}}{3\sqrt{2}}$
途中式 $\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{\frac{6}{5}\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{6\sqrt{10}}{5\cdot 3\sqrt{2}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$1+\displaystyle \tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$より、
$1+\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\frac{1}{\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}}$
$\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\left(\frac{5}{2\sqrt{5}}\right)^{2}-1$
途中式 $\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{5^{2}}{2^{2}\cdot 5}-1$
$\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{5}{2^{2}}-1$
$\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{5}{2^{2}}-\frac{2^{2}}{2^{2}}$
$\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{1}{2^{2}}$
$0 \lt \tan\angle \mathrm{BCD}$なので、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{BCD}=\frac{1}{2}$
である。

$\tan\angle \mathrm{PCH}$も同じ値で、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCH}=\frac{1}{2}$
となる。

解答ツ:1, テ:2

別解1

$1+\displaystyle \tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$の公式を使わずに、三平方の定理でBDを求めて、$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}$から$\tan\angle \mathrm{BCD}$を求めることもできる。

三平方の定理より、
$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{CD}^{2}$
$\mathrm{BD}^{2}$$=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{10}+\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^{2}$
途中式 $\mathrm{BD}^{2}$$=\left(3\sqrt{2}\times\frac{5}{5}\right)^{2}-\left(\frac{6}{5}\sqrt{10}\right)^{2}$
$\mathrm{BD}^{2}$$=\left(\frac{3\cdot 5}{5}\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\frac{6}{5}\sqrt{10}\right)^{2}$
$\displaystyle \mathrm{BD}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}}{5^{2}}\{(5\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{10})^{2}\}$
$\displaystyle \mathrm{BD}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}}{5^{2}}(5^{2}\cdot 2-2^{2}\cdot 10)$
$\displaystyle \mathrm{BD}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}}{5^{2}}\cdot 10$
$0 \lt \mathrm{BD}$なので、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{3}{5}\sqrt{10}$

$\displaystyle \tan\angle \mathrm{BCD}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{\frac{3}{5}\sqrt{10}}{\frac{6}{5}\sqrt{10}}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{3}{6}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。

$\tan\angle \mathrm{PCH}$も同じ値で、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCH}=\frac{1}{2}$
となる。

解答ツ:1, テ:2

別解2

図E
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図E

△PCHを使っても解ける。
ちょっと思いつきにくいかもしれないけれど、実は一番おすすめ。
円Oの半径は$\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}$だけど、面倒なので$r$として計算する。

緑の三角形と斜線の三角形は相似で、相似比は$3:2$。
よって、
$\displaystyle \mathrm{PH}=\frac{2}{3}r$
である。
また、
$\displaystyle \mathrm{BH}=\frac{2}{3}r$
なので、
$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{1}{3}r$
より、
$\displaystyle \mathrm{CH}=\frac{4}{3}r$
となる。

$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCH}=\frac{\mathrm{P}\mathrm{H}}{\mathrm{C}\mathrm{H}}$
なので、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCH}=\frac{\frac{2}{3}r}{\frac{4}{3}r}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCH}$$\displaystyle =\frac{2}{4}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCH}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。

解答ツ:1, テ:2

ト,ナ

最後は△AEDと相似な図形を探す問題。
これまで分かったことで必要な情報を図Fにまとめた。

図F
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図F

図Fで、赤い三角形と相似な図形を探す。
カキより、青い角度は$\tan$が$\displaystyle \frac{1}{3}$ ツテより、オレンジの角度は$\tan$が$\displaystyle \frac{1}{2}$ なので、青い角度とオレンジの角度は等しくない。

さて、問題の赤い三角形だけど、ひとつの角度($\angle \mathrm{D}$)が直角で、ひとつの角度が青。
そういう三角形を探す。

図Fより、△AEDと相似であるのは選択肢のうち、
△PCA
△HEO
である。

解答ト:1, ナ:3 (順不同)