大学入試センター試験 2012年(平成24年) 追試 数学ⅠA 第3問 解説

ア~カ

図A
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図A

図Aの2本の赤い線で方べきの定理を使おう。
$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}=\mathrm{CP}\cdot \mathrm{DP}$
なので、
$$ \begin{align} \mathrm{BP}&=\sqrt{10}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{5}\\ &=\dfrac{10}{5}\\ &=2 \end{align} $$ である。

解答ア:2

また、$\triangle \mathrm{CAP}$(緑の三角形)は、
$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{CP}^{2}$
なので、$\angle \mathrm{CAP}=90^{\circ}$の直角三角形である。

解答イ:9, ウ:0

円周角が$90^{\circ}$なので、弦$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径である。
より$\mathrm{BP}=2$なので、$\mathrm{AB}=3$であるから、$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形。
よって、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=1:1:\sqrt{2}$
である。
よって、
$\mathrm{BC}=3\sqrt{2}$
であり、円$\mathrm{O}$の直径も$3\sqrt{2}$である。

解答エ:3, オ:2

また、緑色の三角形は$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$の直角三角形だった。
よって、
$$ \begin{align} \tan\angle \mathrm{PCA}&=\dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}\\ &=\dfrac{1}{3} \end{align} $$ となる。

解答カ:1, キ:3

ク~ス

図B
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図B

図Bで、$\mathrm{PH} \perp \mathrm{BC}$なので、$\angle \mathrm{BHP}=90^{\circ}$
円周角が$90^{\circ}$なので、線分$\mathrm{BP}$は$\triangle \mathrm{PHB}$の外接円の直径である。
よって、直径は$2$である。

解答ク:2

また、$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径なので、$\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$
よって、
$\angle \mathrm{PHB}+\angle \mathrm{BDP}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
となる。

解答ケ:1, コ:8, サ:0

よって、点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PHB}$の外接円上にある。

さらに、$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形なので、
$\angle \mathrm{ABC}=45^{\circ}$
である。
よって、$\triangle \mathrm{PHB}$も$\mathrm{HB}=\mathrm{HP}$の直角二等辺三角形だから、
$\angle \mathrm{BPH}=45^{\circ}$
となる。
$\angle \mathrm{BDH}$と$\angle \mathrm{BPH}$は同一の弧に対する円周角なので、$\angle \mathrm{BDH}$も$45^{\circ}$である。

解答シ:4, ス:5

セ~チ

図C
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図C

図Cにおいて、同一の弧の円周角は等しいので、同じ色の角度は等しい。
よって、$\triangle \mathrm{BAE}$は$\mathrm{BA}=\mathrm{BE}$の直角二等辺三角形になる。
円周角が$90^{\circ}$なので、弦$\mathrm{AE}$は円$\mathrm{O}$の直径であるから、$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BC}$は点$\mathrm{O}$で交わる。

また、図Cより、$\triangle \mathrm{OAB}$も$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$の直角二等辺三角形になるから、
$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$
なので、
$\angle \mathrm{BOE}=90^{\circ}$
である。

解答セ:9, ソ:0

さらに、AEは円Oの直径なので、
$\mathrm{AE}=3\sqrt{2}$
である。

解答タ:3, チ:2

ツ,テ

図D
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図D

次は$\tan\angle \mathrm{PCH}$だ。
$\tan\angle \mathrm{PCH}$と言われると、つい図Dの赤い三角形の$\triangle \mathrm{PCH}$に目が行くけど、緑の三角形の方が2辺の長さが分かっていて使いやすいかも。
なので、ここでは緑の三角形の$\triangle \mathrm{BCD}$を使う。

$\triangle \mathrm{BCD}$は$\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\cos\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{\sqrt{10}+\cfrac{\sqrt{10}}{5}}{3\sqrt{2}}$

途中式 $$ \begin{align} \phantom{\cos\angle \mathrm{BCD}}&=\dfrac{\cfrac{6}{5}\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}\\ &=\dfrac{6\sqrt{10}}{5\cdot 3\sqrt{2}} \end{align} $$
$\phantom{\cos\angle \mathrm{BCD}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$1+\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$より、
$1+\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{1}{\left(\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}}$
$\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\left(\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\right)^{2}-1$

途中式 $$ \begin{align} \phantom{\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}}&=\dfrac{5^{2}}{2^{2}\cdot 5}-1\\ &=\dfrac{5}{2^{2}}-1\\ &=\dfrac{5}{2^{2}}-\dfrac{2^{2}}{2^{2}} \end{align} $$
$\phantom{\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}}=\dfrac{1}{2^{2}}$
$0 \lt \tan\angle \mathrm{BCD}$なので、
$\tan\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{1}{2}$
である。

$\tan\angle \mathrm{PCH}$も同じ値で、
$\tan\angle \mathrm{PCH}=\dfrac{1}{2}$
となる。

解答ツ:1, テ:2

別解1

$1+\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$の公式を使わずに、三平方の定理でBDを求めて、$\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}$から$\tan\angle \mathrm{BCD}$を求めることもできる。

三平方の定理より、
$$ \begin{align} \mathrm{BD}^{2}&=\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{CD}^{2}\\ &=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{10}+\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right)^{2} \end{align} $$

途中式 $$ \begin{align} \phantom{\mathrm{BD}^{2}}&=\left(3\sqrt{2}\times\dfrac{5}{5}\right)^{2}-\left(\dfrac{6}{5}\sqrt{10}\right)^{2}\\ &=\left(\dfrac{3\cdot 5}{5}\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{6}{5}\sqrt{10}\right)^{2}\\ &=\dfrac{3^{2}}{5^{2}}\{(5\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{10})^{2}\}\\ &=\dfrac{3^{2}}{5^{2}}(5^{2}\cdot 2-2^{2}\cdot 10) \end{align} $$
$\phantom{\mathrm{BD}^{2}}=\dfrac{3^{2}}{5^{2}}\cdot 10$
$0 \lt \mathrm{BD}$なので、
$\mathrm{BD}=\dfrac{3}{5}\sqrt{10}$

$$ \begin{align} \tan\angle \mathrm{BCD}&=\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}\\ &=\dfrac{\cfrac{3}{5}\sqrt{10}}{\cfrac{6}{5}\sqrt{10}}\\ &=\dfrac{3}{6}\\ &=\dfrac{1}{2} \end{align} $$ である。

$\tan\angle \mathrm{PCH}$も同じ値で、
$\tan\angle \mathrm{PCH}=\dfrac{1}{2}$
となる。

解答ツ:1, テ:2

別解2

図E
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図E

$\triangle \mathrm{PCH}$を使っても解ける。
ちょっと思いつきにくいかもしれないけれど、実は一番おすすめ。
円Oの半径は$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$だけど、面倒なので$r$として計算する。

緑の三角形と斜線の三角形は相似で、相似比は$3:2$。
よって、
$\mathrm{PH}=\dfrac{2}{3}r$
である。
また、
$\mathrm{BH}=\dfrac{2}{3}r$
なので、
$\mathrm{OH}=\dfrac{1}{3}r$
より、
$\mathrm{CH}=\dfrac{4}{3}r$
となる。

$\tan\angle \mathrm{PCH}=\dfrac{\mathrm{PH}}{\mathrm{CH}}$
なので、
$$ \begin{align} \tan\angle \mathrm{PCH}&=\dfrac{\dfrac{2}{3}r}{\dfrac{4}{3}r}\\ &=\dfrac{2}{4}\\ &=\dfrac{1}{2} \end{align} $$ である。

解答ツ:1, テ:2

ト,ナ

最後は△AEDと相似な図形を探す問題。
これまで分かったことで必要な情報を図Fにまとめた。

図F
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅠA第3問 解説図F

図Fで、赤い三角形と相似な図形を探す。
より、青い角度は$\tan$が$\dfrac{1}{3}$ より、オレンジの角度は$\tan$が$\dfrac{1}{2}$ なので、青い角度とオレンジの角度は等しくない。

さて、問題の赤い三角形だけど、ひとつの角度($\angle \mathrm{D}$)が直角で、ひとつの角度が青。
そういう三角形を探す。

図Fより、$\triangle \mathrm{AED}$と相似であるのは、選択肢のうち
$\triangle \mathrm{PCA}$
$\triangle \mathrm{HEO}$
である。

解答ト:1, ナ:3 (順不同)