大学入試センター試験 2012年(平成24年) 追試 数学ⅡB 第1問 [2] 解説

解説

関数$f(x)$のグラフは下に凸の放物線。
そのグラフがすべての実数$x$で$0$より大きくなるので、$x$軸とグラフの共有点がなければよい。
なので、
$D \lt 0$

解答チ:0

この判別式は、
$\begin{aligned}& D=4^{2}\left(\dfrac{3\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta}-\sqrt{3}\right)^{2}\\&\hspace{80px}-4\cdot 3(\sin^{2}\theta+3\cos^{2}\theta)^{2}\end{aligned}$
である。


復習

2倍角の公式を復習しておくと、

公式

$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$式A $$ \begin{align} \cos 2\theta&=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\\ &=1-2\sin^{2}\theta\\ &=2\cos^{2}\theta-1 \class{tex_formula}{式B} \end{align} $$ $\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$

だった。

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$より
$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$
これを問題の式に代入して、
$$ \begin{align} \sin^{2}\theta+3\cos^{2}\theta&=(1-\cos^{2}\theta)+3\cos^{2}\theta\\ &=1+2\cos^{2}\theta \class{tex_formula}{式C} \end{align} $$

式Bより、
$2\cos^{2}\theta=\cos 2\theta+1$
これを式Cに代入して、
$$ \begin{align} \sin^{2}\theta+3\cos^{2}\theta&=1+\cos 2\theta+1\\ &=2+\cos 2\theta \class{tex_formula}{式D} \end{align} $$ である。

解答ツ:2

$1+\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$,$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$を問題の式に代入して、
$$ \begin{align} \dfrac{3\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta}&=\dfrac{3\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}}{\cfrac{1}{\cos^{2}\theta}}\\ &=3\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\cos^{2}\theta\\ &=3\sin\theta\cos\theta \class{tex_formula}{式E} \end{align} $$

式Aより、
$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}\sin 2\theta$
これを式Eに代入して、
$$ \begin{align} \dfrac{3\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta}&=3\cdot\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\\ &=\dfrac{3}{2}\sin 2\theta\class{tex_formula}{式F} \end{align} $$ となる。

解答テ:3, ト:2


式D,式Fを判別式に代入すると、
$D=4^{2}\left(\dfrac{3}{2}\sin 2\theta-\sqrt{3}\right)^{2}-4\cdot 3(2+\cos 2\theta)^{2}$
となる。
これを計算する。
$\begin{aligned}D=& 4\cdot 4\left(\dfrac{\sqrt{3}^{2}}{2}\sin 2\theta-\sqrt{3}\right)^{2}\\&\hspace{80px}-4\cdot 3(2+\cos 2\theta)^{2}\end{aligned}$

途中式 $$ \begin{align} \phantom{D}&\begin{aligned}=& 4\cdot 2^{2}\left\{\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta-1\right)\right\}^{2}\\&\hspace{130px}-4\cdot 3(2+\cos 2\theta)^{2}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}=& 4\cdot\sqrt{3}^{2}\left\{2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta-1\right)\right\}^{2}\\&\hspace{130px}-4\cdot 3(2+\cos 2\theta)^{2}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}=12\{(\sqrt{3}\sin 2\theta-2)^{2}-(2+\cos 2\theta)^{2}\}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}=& 12\{(\sqrt{3}\sin 2\theta-2)+(2+\cos 2\theta)\}\\&\hspace{40px}\times \{(\sqrt{3}\sin 2\theta-2)-(2+\cos 2\theta)\}\end{aligned} \end{align} $$
$\phantom{D}\begin{aligned}=12&\textcolor{royalblue}{(\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos 2\theta)}\\&\hspace{40px}\times\textcolor{green}{(\sqrt{3}\sin 2\theta-\cos 2\theta-4)}\end{aligned}$
式G
である。

解答ナ:3, ニ:4

$-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$なので
$-\pi \lt 2\theta \lt \pi$式H
となるから、
$-1\leqq\sin 2\theta\leqq 1$より、
$-\sqrt{3}\leqq\sqrt{3}\sin 2\theta\leqq\sqrt{3}$
$-1 \lt \cos 2\theta\leqq 1$より、
$-1 \lt \cos 2\theta\leqq 1$
である。
よって、式Gの緑色の部分は、
$\sqrt{3}\sin 2\theta-\cos 2\theta-4 \lt 0$式I
である。

解答ヌ:0

一方、式Gの青い部分は、三角関数の合成から
$\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos 2\theta=2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$
式J
と変形できる。

解答ネ:2, ノ:6


ちょっと話が長くなったので思い出すと、
$D \lt 0$
となる範囲を求めている。

式G,式I,式Jより、
$D=12\cdot 2\textcolor{royalblue}{\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)}\cdot(\text{負の値})$
なので、式の青い部分が正になれば、$D$は負になる。
よって、
$\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right) \gt 0$
となる範囲をさがす。

式Hより
$-\pi \lt 2\theta \lt \pi$
なので、
$-\dfrac{5}{6}\pi \lt 2\theta+\dfrac{\pi}{6} \lt \dfrac{7}{6}\pi$
であるから、$2\theta+\dfrac{\pi}{6}$の定義域は図Aの緑の部分になる。

図A
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅡB第1問[2] 解説図A

$\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$が正になる部分を求めるので、定義域が図Aのオレンジの部分に入る範囲が答だ。
結局求める部分は図Aの赤い範囲で、
$ 0 \lt 2\theta+\dfrac{\pi}{6} \lt \pi$
である。
これを計算して、
$-\dfrac{\pi}{6} \lt 2\theta \lt \dfrac{5}{6}\pi$
$-\dfrac{\pi}{12} \lt \theta \lt \dfrac{5}{12}\pi$
となる。

解答ハ:1, ヒ:2, フ:5